782. Transform to Chessboard

Posted 2020-12-15 habibah-chang

问题：

给定一个由0，1组成的N*N的数组，问是否能进行多次行交换，列交换，使得数组成为一个国际象棋盘（01交叉排列）

可以则返回交换次数，否则返回-1

Examples:
Input: board = [[0,1,1,0],[0,1,1,0],[1,0,0,1],[1,0,0,1]]
Output: 2
Explanation:
One potential sequence of moves is shown below, from left to right:

0110     1010     1010
0110 --> 1010 --> 0101
1001     0101     1010
1001     0101     0101

The first move swaps the first and second column.
The second move swaps the second and third row.


Input: board = [[0, 1], [1, 0]]
Output: 0
Explanation:
Also note that the board with 0 in the top left corner,
01
10

is also a valid chessboard.

Input: board = [[1, 0], [1, 0]]
Output: -1
Explanation:
No matter what sequence of moves you make, you cannot end with a valid chessboard.
Note:

board will have the same number of rows and columns, a number in the range [2, 30].
board[i][j] will be only 0s or 1s.

　　

解法：

先考虑能满足条件的数组都有什么特征：

1.若某一行（列）为：101001101，那么该数组的其他行（列）只能为以下两种情况：

   101001101：与给定内容一致

   010110010：将给定内容各位取补

那么，在这条规律下，对于数组的某一个元素 board[i][j] 与其偏移基准横坐标[0][j]，纵坐标[i][0]，原点[0][0]组成的矩形

四点值只可能有三种情况：四个0，四个1，两个1两个0。

那么则有，若 board[i][j]^board[i][0]^board[0][j]^board[0][0]==1 ,那么就违反上述情况，不满足条件所要求的数组，则需返回-1

 

2.某一行（列）中 1 和 0 需各占一半。

由于特征 1 已经固定了每个点的特性，则只需要将第一行和第一列的01数量特性限制，即可使得全节点满足特性 2

那么遍历 i：0～n，计算1的数量 SumCol 和 SumRow

若所得结果，SumCol !=n/2 同时 !=(n+1)/2 ）不满足 1 和 0 各占一半的话，返回-1

SumRow 同上。

 

??特别的，在计算SumCol和SumRow的同时，可计算如果需要进行交换，那么需要交换几次。

需要交换：不满足1和0相隔出现，即index为奇数时出现 0，index为偶数时出现 1；或者 index为奇数时出现 1，index为偶数时出现 0

SwapCol+=board[0][i]==i%2;

若满足1和0相隔出现，上述公式可得，SwapCol==0或者n

有一个违反位，SwapCol==1或者n-1
有两个违反位，SwapCol==2或者n-2

……

SwapRow同理可得。

??注意，这里交换的次数x和n-x，交换出来的效果都是一样的。

我们最后需要得到的结果是交换动作的次数，一次交换，可以换掉两行（列），

因此，我们要的结果应为（SwapCol+SwapRow）/2

 

接下来，考虑Swap的取值选择上：

由于一次交换会换掉两行或两列，

那么我们所取的SwapCol和SwapRow应为2的倍数，即为偶数。同时根据题意，要求最少次数

那么有：

当n为奇数时，Swap为奇数的话，则取剩下的一半 n-Swap

当n为偶数是，取 min(Swap, n-Swap)

 

代码参考：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int movesToChessboard(vector<vector<int>>& board) {
 4         int n=board.size(), SumCol=0, SumRow=0, SwapCol=0, SwapRow=0;
 5         for(int i=0; i<n; i++){
 6             for(int j=0; j<n; j++){
 7                 if(board[i][j]^board[i][0]^board[0][j]^board[0][0]==1) return -1;
 8             }
 9         }
10         for(int i=0; i<n; i++){
11             SumCol+=board[0][i];
12             SumRow+=board[i][0];
13             SwapCol+=board[0][i]==i%2;//=010...?N ->=01[1]...:N-1 ->=0[01]...:N-2
14             SwapRow+=board[i][0]==i%2;//=010...?N:0
15             //对于一行中交换 SwapCol 次，也就相当于交换余下的 n-SwapCol 次，效果一样
16         }
17         if(SumCol!=n/2 && SumCol!=(n+1)/2) return -1;
18         if(SumRow!=n/2 && SumRow!=(n+1)/2) return -1;
19         if(n%2){//奇数个，由于没交换一次，其实Swap数是2，那么只选择Swap数为2的倍数
20             if(SwapCol%2) SwapCol=n-SwapCol;//偶数SwapCol=奇数n-奇数SwapCol
21             if(SwapRow%2) SwapRow=n-SwapRow;//偶数SwapRow=奇数n-奇数SwapRow
22         }else{//偶数个，则选择交换次数少的：偶数SwapCol=偶数n-偶数SwapCol
23             SwapCol=min(SwapCol,n-SwapCol);
24             SwapRow=min(SwapRow,n-SwapRow);
25         }
26         return (SwapCol+SwapRow)/2;
27     }
28 };