P5091 模板扩展欧拉定理 题解

Posted 2020-12-14 bifanwen

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前置知识：

欧拉筛，一些基本数论知识。

简要题意：

求 (a^b \% m).

(1 leq a leq 10^9 , 1 leq b leq 10^{2 imes 10^7} , 1 leq m leq 10^8).

首先，看到这个数据范围你就发现你凉凉了。

算法一

一个简单的弱化：

(a,b,m leq 10^7).

显然你 (mathcal{O}(b)) 过了。

算法二

一个再简单点的强化呢：

. (a,b,m leq 10^{18}).

你用 (mathcal{O}(log b)) 可以飞快过了 。

算法三

那么考虑这道题目呢？不行了吧？

可能，(mathcal{O}(log b)) 的朴素快速幂 (+) 每次 (b) 的高精度除法 (div2) (+) 一定卡常是可以通过的。

但是我们不要，我们只需要用一个简单的定理：

[a^b equiv egin{cases} a^b space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space, b < phi(m) a^{b space ext{mod} space phi(m) + phi(m)} , b geq phi(m) \end{cases}]

先不管如何证明，考虑用这个玩意儿怎么做。

用 (mathcal{O}(sqrt{m})) 的时间可以算出 (phi(m))，然后快读 (b)，(b leq phi(m)) 则套公式快速幂，如果 (b < phi(m)) 只能说明 (b) 也很小，再跑一个 (log) 也没啥问题了。

具体证明大家可以去看一下 ( ext{ouuan}) 的博客

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

inline int read(){char ch=getchar(); int f=1; while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar(); return x*f;}

inline int remo(int m) {
	char c; while(!isdigit(c=getchar()));
	int x=0; bool f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) {
		x=x*10+c-‘0‘;
		if(x>=m) f=1,x%=m;
	} return f?(x+m):x;
}

inline void write(int x) {
	if(x<0) {putchar(‘-‘);write(-x);return;}
	if(x<10) {putchar(char(x%10+‘0‘));return;}
	write(x/10);putchar(char(x%10+‘0‘));
}

inline int pw(int a,int b,int m) {
	int ans=1; while(b) {
		if(b&1) ans=ans*a%m;
		a=a*a%m; b>>=1;
	} return ans;
}

signed main() {
	int a=read(),m=read(); a%=m;
	int phi=1,t=m,ans=1; 
	for(int i=2;i*i<=t;i++) {
		if(t%i) continue;
		phi*=i-1; t/=i;
		while(t%i==0) phi*=i,t/=i;
	} if(t>1) phi*=t-1; //printf("%d
",remo(phi));
	printf("%d
",pw(a,remo(phi),m));
	return 0;
}