java算法与数据结构必备知识点汇总

Posted 2020-12-13 go1188

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1.数据结构基础
2.线性表(顺序存储、链式存储)

元素之间是有顺序的：第一个元素无前驱，最后一个元素无后继，其他元素都有前驱和后继
顺序存储结构：用一段地址连续的存储单元一次存储线性表的数据元素(存取时间复杂度为O(1)，插入或删除时间复杂度为O(N)，适合数据量不大并且存取操作多的数据)
优缺点：

链式结构：元素信息+后继元素的地址(读取、插入、删除：时间复杂度O(N))
头指针：链表第一个结点的存储位置；
尾结点：后继不存在，即最后一个结点的指针为空；
头结点：第一个结点前设一个结点，可以不存储任何信息，也可以存储长度等附加信息

优缺点：

3.栈

4.队列、循环队列

5.串

子串查找：KMP算法
6.树

节点的度：节点的分支数目

树的度：树内各个节点的度的最大值

叶节点、终端节点：度为0的点

树的深度：树中节点的最大层次

二叉树：n个结点的有限集合，该集合或者为空集（空二叉树），或者由一个根节点和两颗互不相交、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的5种形态：

满二叉树：

完全二叉树

二叉树的性质

二叉树的第i层，最多有2i−1 2^{i-1}2
i−1
结点

深度为k的二叉树，最多有2k−1 2^k-12
k
−1个节点

具有n个结点的完全二叉树的深度为[logn2]+1 [log_2^n]+1[log
2
n
?
]+1（[x]表示对x下取整）

二叉树T，叶子节点数为n0 n_0n
0
?
，度为2的节点数为n2 n_2n
2
?
，则n0 n_0n
0
?
= n2 n_2n
2
?
+ 1
因为节点数n = n0 n_0n
0
?
+ n1 n_1n
1
?
+ n2 n_2n
2
?
= 2n2 n_2n
2
?
+ n1 n_1n
1
?
+ 1
所以：n0 n_0n
0
?
= n2 n_2n
2
?
+ 1

对于完全二叉树的节点i：

二叉树的存储

一维数组存储：使用一维数组按照顺序存储，对于不存在的节点使用空来占位

二叉链表：lchild+data+rchild形式

二叉树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历(逐层遍历)

已知前序和中序，可以确定一颗二叉树

已知后序和中序，可以确定一颗二叉树

已知前序和后序，不可以确定一颗二叉树

树、森林、二叉树的转换

树转换成二叉树

1.加线：兄弟节点之间加一条线
2.去线：对每个节点只保留第一个子节点的连线，删除其他子节点的连线
3.层次调整：第一个子节点为左孩子，兄弟节点转成第一个子节点的右孩子
1
2
3
eg：

森林转成二叉树
#森林由多棵树组成，将森林中每一颗树都视为兄弟，按照兄弟的办法来处理
1.将每棵树转成二叉树
2.将后面的树的根节点作为前面的树的根节点的右孩子
1
2
3
eg：

二叉树转成树
#树转成二叉树的逆过程
1.加线：左孩子的所有右孩子，与左孩子的父节点连接起来。
2.去线：删除原二叉树中的所有右孩子连线。
3.层次调整：旋转
1
2
3
4
eg：

二叉树转成森林
#如果根节点有右孩子，则是森林，没有孩子，则是一棵树
1.先将根节点的右孩子线删除，拆成多颗二叉树
2.然后对每个二叉树执行拆分成树的操作
1
2
3
eg：

树与森林的遍历

树的遍历：先根遍历、后根遍历

 

森林的遍历：前序遍历、后续遍历

前序遍历结果：ABCDEFGHJI
后序遍历结果：BCDAFEJHIG

哈夫曼树

简介

1.节点的带权路径：节点到根之间的路径长度与节点权值的乘积
2.树的带权路径：树中所有节点的带权路径之和
3.哈夫曼树：带权路径长度WPL最小的二叉树，称为哈夫曼树，也叫最优二叉树
1
2
3
二叉树a的WPL=51+152+403+304+104=315
二叉树b的WPL=53+153+402+302+102=220
这个结果意味着，如果有10000个学生需要计算，那么二叉树a的判断方法需要计算31500次，而二叉树b的方法需要计算22000次。

哈夫曼树构造

 

7.图

定义

无向边：顶点之间没有方向，称这条边为无向边，用无序偶对(vi,vj) (v_i,v_j)(v
i
?
,v
j
?
)来表示

有向边：顶点之间有方向，称这条边为有向边，也称为弧，用有序偶对&lt;vi,vj> &lt;v_i,v_j&gt;<v
i
?
,v
j
?
>来表示，如果图中任意两个顶点的边都是有向边，则称该图为有向图，要区分开弧尾vj v_jv
j
?
和弧头vi v_iv
i
?

无向图:如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图，含有n个顶点的无向完全图有n(n−1)/2 n(n−1)/2n(n−1)/2条边。

有向图:如果任意两个顶点间都存在方向互为相反的两条弧，则称为有向完全图。含有n个顶点的有向完全图有n(n−1) n(n−1)n(n−1)条边。

连通图：无向图中，如果两个顶点之间有路径，说明两顶点是连通的，如果对于图中任意两个顶点都是连通的，则称该无向图是连通图。

极大连通子图称为连通分量：需要是1.子图；2.子图是连通的；3.连通子图含有极大顶点数；4.具有极大顶点数的连通子图包含依附这些顶点的所有边。

度：无向图顶点的边数叫度，有向图的顶点分为出度和入度。

生成树、森林：无向图中连通且n个顶点有n-1条边叫生成树；有向图中一个顶点入度为0，其余顶点入度为1称为有向树；一个有向图由若干个有向树构成生成森林。

图的存储结构
由于图的结构比较复杂，任意两点之间都可能存在联系，因此不能用简单的顺序存储结构来表示。

邻接矩阵

邻接矩阵的存储方式：两个数组来表示图;
一个一维数组存储图中顶点的信息;
一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
1
2
3

 

邻接表
临近矩阵的问题：对边数相对顶点数较少的图，这种结构是对存储空间的极大浪费，太稀疏。
1

邻接表：将数组与链表结合起来
1
无向图：

有向图：

带权有向图：

十字链表
在有向图中，邻接表是有缺陷的，关心了出度问题，要想知道入度，就必须遍历整个图；
反之逆邻接表解决了入度却不能解决出度；
那能否将邻接表与逆邻接表结合起来呢？
答案是肯定的，于是就有了一种新的有向图的存储方法：十字链表法。
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2
3
4

邻接多重表

边集数组
边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素有一条边的起点下标(begin)、终点下标(end)和权(weight)组成。

图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜素

深度优先搜索：

广度优先遍历：类似于树的层序遍历

深度优先更适合目标比较明确，以找到目标为主的情况，广度优先更适合在不断扩大遍历访问时找到最优解的情况。

最小生成树

定义：给定一个无向图，如果他的某个子图中，任意两个顶点都能互相连通并且是一棵树，那么这棵树就叫做生成树，如果边上有权值，那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树。即构成连通网的最小代价生成树称为最小生成树。

实际问题：我们要在n个城市中建立一个通信网络，则连通这n个城市需要布置n-1一条通信线路，这个时候我们需要考虑如何在成本最低的情况下建立这个通信网？

普里姆算法—Prim算法：适合稠密图
【算法思想】：Prime算法是一种贪心算法，它最初将无向连通图G中所有顶点V分成两个顶点集合VA和VB。在计算过程中VA中的点为已经选好连接入生成树的点，否则属于VB。最开始的时候VA只包含任意选取的图G中的一个点u，其余的点属于VB，每次添加一个VB中的点到VA，该点是集合VB到集合VA中距离最小的一个点。直到V个顶点全部属于VA，算法结束。显然出发点不同，最小生成树的形态就不同，但边权和的最小值是唯一的。
eg: