哈夫曼树

Posted 2020-12-13 ticmis

数论 哈夫曼树

1.0 引子

A: 欸，你听说过“带权最优二叉树”嘛？就是“带权路径长度最短的二叉树“嘛？就是“路径上的分支个数称为路径长度”嘛？就是“叶子结点都有一定的权值”嘛？

B: 说人话

A: 《合并果子》..

1.1 二叉哈夫曼算法

也许算法并不叫这个名字，只是我觉得好记好懂就这么叫了..

二叉哈夫曼算法解决的问题与《合并果子》别无二致，但是为了严谨，还是重新叙述一遍二叉哈夫曼算法解决的问题：

有n个数；每一次合并操作代价为两个数字之和；每一次合并可以将两个数字合并为一个数字，其大小为原先两数字之和；试求最小合并代价

一个(O(nlogn))的优先队列解法很快浮现了出来。二叉哈夫曼算法复杂度与该解法同级，但没有利用到优先队列这个数据结构。

一、 开两个数组记为a[],和b[]。a[]数组初始化为升序的原数组，而b[]数组为空

二、 每一次尝试从a[]和b[]队首中找最小的两个数

三、 将其合并之后，放入b[]的队尾

1） a[]的单调性保证：初始化时排序，之后不再发生插入操作

2） b[]的单调性保证：每一次合并的结果将会越来越大，而越靠后的合并结果将会插在b[]越靠后的位置上，单调性得到保证

a[]和b[]都有单调性保证，只要从两个队列队首抽一个较小值，即可得到全局最小值

1.2 k叉哈夫曼算法

解决了二叉哈夫曼算法，不禁联想到将情况扩展到更高维的情况：假如同时允许合并k个数字呢？

事实上情况并没有变得太过复杂，优先队列解法可以很轻松的转移过来，同理“k叉哈夫曼算法”诞生了。与二叉哈夫曼算法几乎没有区别，只是每一次取前k小即可。

但是，每一次合并将会减少(k-1)个数字，假如最后一次合并没能凑齐k个数字呢？贪心地考虑一下，越靠后的合并操作，牵扯到的数字越多，因此合并操作越靠后，越应当凑齐正好k个数字，不能浪费机会。由于算法很明显是不能倒序进行的，因此我们只需要事先给数列添加一些人畜无害的"0"调整个数，便能保证最后一次合并可以凑齐k个数字整

虽然具体放"0"的个数很简单，做题的时候顺手推一下就能推出来，但是还是总结了以下公式:

[(k-(nmod (k-1)))mod (k-1) ]

例题：hdu 5884 Sort

一道裸的哈夫曼算法

2.1 哈夫曼树

哈夫曼树其实就是把在进行哈夫曼算法的同时，将k个受牵连的节点抽出来，新建一个点连向这k个节点。脑补一下，就能想象出这么做的后果是会形成一棵树吧..

e.p. 合并 {1,1,2,2} 的哈夫曼树

3.1 哈夫曼编码

哈夫曼编码的几条性质：

1. 哈夫曼编码是一种可变字长编码，即每一个对应元素的编码长度不一定相同
2. 哈夫曼编码是一种前缀编码，即一组编码中任一编码都不是其他任何一个编码的前缀
3. 满足同等条件下，哈夫曼编码可以保证利用编码转译后，译文总长度最短

3.2 带权路径

先下一条定义：

带权路径：对于一条从根节点到叶节点的路径，其贡献等于叶节点的点权( imes)路径长度(所有边的长度为1)

一个常见的问题就是“带权路径和最小”。其实很好解决，由于在带权路径中叶节点的点权被扩大了路径长度次，那我们就将这些贡献原样的“分摊”给路径上的每一个节点。

容易发现，新的树其实就是哈夫曼树，“带权路径和最小”其实就可以利用哈夫曼算法得到解决

问题的解决

将问题整理一下：有n个k进制密钥，每一个密钥之间长度可以不等；第i个密钥出现了给定的a_i次；密钥之间彼此直接无歧义，即彼此间不是彼此的前缀；试问译文的最短长度

对于k进制密钥，就建一颗k叉树；将n个密钥出现次数作为a_i作为树的叶节点；除叶节点外的节点点权大小为该节点子节点的点权之和。

将每一个节点连向儿子的边顺序编号。由于是k叉树，因此标号大小严格不大于k，因此从根节点到叶节点的路径对应着一个长度为路径长度的k进制密钥，且密钥唯一，彼此不存在覆盖关系，也就不存在前缀关系。

将密钥问题转换为树上的路径问题后，原问题中“译文总长度最短”也就转换为了“带权路径”最短的问题。这便是哈夫曼树所解决的问题。

例题：[NOI2015]荷马史诗](https://www.luogu.org/problem/P2168)

子问题一就是哈夫曼编码的应用：对于子问题二，只需要略改哈夫曼算法：倘若两个队首数字相同，娶一个深度较小的即可

NOI水题一发AC祭 [ヾ(≧▽≦)o ](https://www.luogu.org/record/22383511）