斜率优化小结

Posted 2020-12-11 atoner

斜率优化小结

博主是个智障，总是忘记斜率优化的过程。为了方便以后考前临时抱佛脚，写个博客。

斜率优化维护下面的问题：

(f_i=min_{j<i}{f_j+(a_i-b_j)^2})

其中(min)或(max)，和(+)或(-)。(a_i,b_j)均只取决于(i,j)。

首先不看取(min)。我们钦定它的决策点是(j)，有：

(f_i=f_j+a_i^2+b_j^2-2a_ib_j) 其中符号什么的视情况而定。

（实际上未必是最上式，可以整理成上式的也都可以做斜率优化，甚至未必系数为2）

移项得：(2a_ib_j+f_i-a_i^2=f_j+b_j^2)

我们把(b_j)设为(x)，(f_j+b_j^2)设置为(y)。这样每个决策点(j)可以看成点((b_j,f_j+b_j^2))。

转移我们看作拿一个斜率是(a_i)的直线，去切一群点，考虑最小化(f_i)，所以要求截距最小。

又斜率都是正的，所以考虑拿这个切出来的点应该是下凸包。

维护凸包根据各种要求，有平衡树，cdq分治，普通单调队列等。