凸包小结

Posted 2020-10-28 ~victorique~

先说部分资料来源（蒟蒻也是从他们那里学会的）：

数学：凸包算法详解——爱国呐

计算几何之凸包(convexHull)----Graham扫描法——天泽28

话说本来在学斜率优化DP，结果因为某位坑爹博主的一句本来没有问题的话：

是不是很像一个下凸包？ 
我们用当前的斜率k从下方去不断逼近下凸包，最终会先碰到哪一个点？ 

我莫名其妙的去学了凸包，觉得学完之后斜率DP说不定能好做点，但是。。。。。。现在依然看不明白。

那么进入正题，先看这样一个例题：

mhr:明显，这个题我们可以暴力枚举!

博主：滚！

可以发现，暴力是绝对不可取的，其实如果这个图就摆在你面前的话，你是很容易就能看出来，栅栏长度就是最外面的一圈点，但是电脑并没有眼睛，所以我们就要使用一些算法来计算出来那外面的一圈，也就是所谓的凸包。有一个比较学术的说法，来自某度某科：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造.

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。

我们有很多不同的方法求出凸包，不过这里介绍的是性价比很高的Graham算法。

graham算法的整个操作基本都在一个栈中完成。如果设所有点的集合为点集Q，那么Q中的所有点都要入栈一次，然后再把一部分不符合要求的点弹出栈，最后剩在栈中的点就是凸包上的点了。

具体实现步骤如下

1. 首先我们要选取一个基点o，要求在点集Q中，基点o纵坐标必须是最小的，如果有相同最小的纵坐标，那么选取横坐标最小的，如果还有相同的。。肯定是重点，不用管它就是了。如何快速找到？如果你不嫌麻烦，大可以sort排序之后选第一个，然而实际上，我们只需要找出那个最下面同时是最左边的点就可以了，因为之后整个点集还会重新排序，所以这一开始的顺序没什么用。

2. 然后我们把剩下的所有点以o为极点，进行极角排序，角小的放在前面，如果角度相同，那么按照到点o的距离排序。

3. 设所有的点事p1,p2.....pn。将o，p1，p2三个点压入栈，开始遍历所有剩下的点。

4. 对每一个新遍历到的点，很明显我们需要逆时针旋转当前方向，如果有一个点顺时针旋转了，那么我们就把栈顶的点弹出，直到符合逆时针旋转这个要求为止。

看上去十分简明扼要易懂是不是？？？

读者：打死这个博主，写这些东西我能看懂啥？？那个顺时针逆时针我能看出来，电脑那个愚蠢的东西咋看出来？？

判断顺时针还是逆时针旋转，我们要用到一个东西——叉积。

好吧又一个新名词。某度某科这么定义叉积：

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

嗯。。。这其实什么也没说明白，这么说吧，貌似博主们和笔者都是一致认为：叉积a×b是点0，a，b和a+b组成的平行四边形的向量面积（也就是有方向的面积）。如果计算出来的叉积是正，那么a在b右侧，否则a在b左侧。如果增添一个公共端点c，那么计算方法就是：（c-a）×（c-b）。P.s可能说的不是很明白，因为笔者对于插入数学公式这种操作还是略不熟练，文章最上方的dalao的博客里有比较清晰地证明。

那么给出算法导论里的证明，还是比较明白的：

 

 然而其实也有瑕疵，就是这个正负和你计算的顺序是有关系的，经常有不等号写反结果一直爆0的现象发生。所以有句老话“尽信书则不如无书”，不要过分相信书上说的，多实践才是真理。

其实应该手绘静态步骤图的，但是确实是没那个实力，博主从小学开始美术就连B都没得过，全是CD。。。。

那么借来一张动态的给大家看一眼吧：

 

 。

那么基本上大体的就说完了，接下来就是代码了。与往常不同，博主这次会加详细的注释诶：

p.s：以上面那道题目为例。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define ll long long
#define inf 50000000
#define re register
#define MAXN 50005
using namespace std;
struct node{
    double x,y;
};
node a[MAXN],stackk[MAXN];
double xx,yy;
int n,top;
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=\' \';
    while((ch>\'9\'||ch<\'0\')&&ch!=\'-\')ch=getchar();
    while(ch==\'-\') c*=-1,ch=getchar();
    while(ch<=\'9\'&&ch>=\'0\')x=x*10+ch-\'0\',ch=getchar();
    return x*c;
}
inline double js(node a,node b)//计算距离自不必说 
{
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)*1.0);
}
inline bool cmp(node a,node b)//第一遍排序，来求基点。 
{
    if(a.y==b.y) return a.x<b.x;
    return a.y<b.y;
}
inline double cross(node a,node b,node c)//计算以a为公共端点，b与c的叉积。 
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
inline bool cmp1(node a,node b)//极角排序 
{
    double k=cross(stackk[1],a,b);
    if(k>0) return 1;//如果b在a时针方向返回1 
    else if(k==0) return js(stackk[1],a)<=js(stackk[1],b);//如果极角相等，则比较距离 
    else return 0;
}
int main()
{
    n=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
    }
    if(n==1) {printf("0");return 0;}
    if(n==2) {printf("%.2lf",js(a[1],a[2]));return 0;}
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    stackk[++top]=a[1];
    xx=stackk[top].x;
    yy=stackk[top].y;
    sort(a+2,a+n+1,cmp1);
    stackk[++top]=a[2]; 
    stackk[++top]=a[3];//把p1，p2，p3压入栈中。
    for(re int i=4;i<=n;i++){
        while(top>0&&cross(stackk[top-1],stackk[top],a[i])<0)//如果右旋转了，就弹出栈顶的点 
        top--;
        stackk[++top]=a[i];//加入新点 
    }
    double ans=0;
    for(re int i=2;i<=top;i++)//点之间两两求距离。 
    ans+=js(stackk[i-1],stackk[i]);
    ans+=js(stackk[top],stackk[1]);
    printf("%.2lf",ans);
}

其实也不是很详细了。。。不过笔者自认为码风清晰易懂（逃~~