动态规划

Posted 2020-12-11 capacity-yang

对动态规划，做个总结，我们从一个例子开始：

有一座高度是10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

比如，每次走1级台阶，一共走10步，这是其中一种走法。我们可以简写成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。

再比如，每次走2级台阶，一共走5步，这是另一种走法。我们可以简写成 2,2,2,2,2。

当然，除此之外，还有很多很多种走法。

这里就要用到了动态规划的思想了：动态规划（Dynamic Programming）是一种分阶段求解决策问题的数学思想。总结起来就是一句话，大事化小，小事化了。

我们用动态规划问题来看看上述的问题吧：

问题建模：

假如只差一步就能走完整个楼梯，要分为几种情况？因为每一步能走一级或者两级台阶，所以有如下两种情况：

1.最后一步走2级台阶，也就是从8级到10级

2.最后一步走1级台阶，也就是从9级到10级

那么在上面的基础上假设1级到8级有X种走法，1级到9级有Y种走法，那么1级到10级有几种走法？

实际上，10级台阶的所有走法可以根据最后一步的不同分为两个部分。

第一部分：最后一步从9级到10级，这种走法的数量和1级到9级的数量一致，也就是Y种。

第二部分：最后一步从8级到10级，这种走法的数量和1级到8级的数量一致，也就是X种。

总的走法就是两种走法的总和，也就是SUM=X+Y种。

我们把10级台阶的走法表达为F(10)此时:

F(10) = F(9)+F(8)

F(9)   = F(8)+F(7)

F(8)   = F(7)+F(6)

...

F(3)   = F(2)+F(1)

看到没，我们把一个复杂的问题分阶段分步的简化，简化成简单的问题，这就是动态规划的思想。

当只有1级台阶和2级台阶时走法很明显，即F(1)=1、F(2)=2，可以归纳出如下公式：

F(n) = F(n-1) + F(n-2)(n >= 3);

F(2) = 2;

F(1) = 1;

动态规划中包含三个重要的概念，最优子结构、边界、状态转移公式。

上面我们分析出F(10)=F(9)+F(8)， 其中，F(9)和F(8)是F(10)的最优子结构。

当只有1级和2级台阶时，我们可以直接得出结果，而无需再次简化。我们称F(2)和F(1)是问题的"边界"，如果一个问题没有边界，那么这个问题就没有有限解。

F(n) = F(n-1) + F(n-2)是阶段之间的状态转移公式，它是动态规划的核心，决定了问题的每个阶段和下阶段之间的关系。

至此，动态规划的“问题建模就完成了”。