关于几个背包问题(C语言)

Posted 2020-09-30

个人新学的几个背包问题，做下记录总结。（参考博客：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810  以及 http://blog.csdn.net/u013174702/article/details/45741395）

（1）01背包：

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi,  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。该方程说白了就是比较放第i个和不放第i个物品两种决策，哪种决策价值大就选择哪种 。

我们举个例子来理解下：

假设f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值9,现在有个重量Wi为2 价值为Pi为6
的物品a，考虑是否放入承重为8的背包使其价值最大，f[i-1,j-Wi]代表一个承重为6的背包的最大价值（等于当前背包承重8减去物品a的重量2），
当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值为8
由于f[i-1][v-Wi]+w[i]= 9 + 6 = 15 大于f[i][v] = 8，所以物品a应该放入承重为8的背包。

总的来说：

方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的重量是Wi,价值是Pi,因此f[i-1,j]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1],j-Wi]]+Pi则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

附上南阳oj上的一个题(49题)：

 

开心的小明

 

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难度：4

 

描述

小明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N 元钱就行”。今天一早小明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5 等：用整数1~5 表示，第5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N 元（可以等于N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。设第j 件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k 件物品，编号依次为j1...jk，则所求的总和为：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]请你帮助金明设计一个满足要求的购物单.

 

输入

第一行输入一个整数N(0<N<=101)表示测试数据组数
每组测试数据输入的第1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m
（其中N（<30000）表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）
从第2 行到第m+1 行，第j 行给出了编号为j-1
的物品的基本数据，每行有2 个非负整数
v p
（其中v 表示该物品的价格（v≤10000），p 表示该物品的重要度（1~5））

输出

每组测试数据输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的
最大值（<100000000）

样例输入

1
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

样例输出

3900
解决代码：
//01背包问题,开心的小明 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>  
using namespace std; 
int dp[30001];//dp[i]表示质量为i时的最大价值
struct bag{
 int v;
 int p; 
}a[26];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
  while(n--){
  int N,m,i,j;
  scanf("%d%d",&N,&m); 
  for(i=1;i<=m;i++)
  scanf("%d%d",&a[i].v,&a[i].p);
memset(dp,0,sizeof(dp));
  for(i=1;i<=m;i++){
    for(j=N;j>=a[i].v;j--){
    dp[j]=max(dp[j-a[i].v]+a[i].v*a[i].p,dp[j]);    
    }//确定要不要买价格为j的第i件物品，总是使dp的值最大 
   } 
 printf("%d\n",dp[N]); 
  }    
}
（2）又见01背包：

又见01背包（通过南阳Oj一个例题来体现）

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难度：3

描述

    有n个重量和价值分别为wi 和 vi 的 物品，从这些物品中选择总重量不超过 W 

的物品，求所有挑选方案中物品价值总和的最大值。

　　1 <= n <=100

　　1 <= wi <= 10^7

　　1 <= vi <= 100

　　1 <= W <= 10^9

输入

多组测试数据。
每组测试数据第一行输入，n 和 W ，接下来有n行，每行输入两个数，代表第i个物品的wi 和 vi。

输出

满足题意的最大价值，每组测试数据占一行。

样例输入

4 5
2 3
1 2
3 4
2 2

样例输出

7
这题起初看以为就是普通的背包问题，仔细一看如果用dp[W]来表示质量为wi时的最大价值，因为W的范围太大开不了那么大的数组，
所以解决方法就是把价值和重量翻转，改用较小的价值来开数组，那么最后求的就是指定价值下的最小重量。
附上代码：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct bag{
  int w;
  int v;    
}a[101];
int dp[100000];
int main(){
int n,W; 
while(scanf("%d%d",&n,&W)!=EOF){
int i,j,sum=0;

 for(i=0;i<n;i++){
 scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].v);    
 sum+=a[i].v;
 }
 for(i=0;i<=sum;i++)
 dp[i]=1e9;
 dp[0]=0;
 for(i=0;i<n;i++){
   for(j=sum;j>=a[i].v;j--){
       dp[j]=min(dp[j-a[i].v]+a[i].w,dp[j]);//dp[]代表指定价值下的最小重量，j为指定价值   
   }    
 }
 for(i=sum;i>=0;i--){//按顺序从大到小输出dp的值，即重量对应的价值 
 if(dp[i]<=W){
 printf("%d\n",i);
 break;
 }
}
}
} 
(3)完全背包：

完全背包（南阳oj311题）

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难度：4

描述

直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时，求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包，输出NO

输入

第一行： N 表示有多少组测试数据（N<7）。
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M，V。 M表示物品种类的数目，V表示背包的总容量。(0<M<=2000，0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c，w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000，0<w<100000)

输出

对应每组测试数据输出结果（如果能恰好装满背包，输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包，输出NO）

样例输入

2
1 5
2 2
2 5
2 2
5 1

代码：
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[50005],c[2001],w[2001];    
int main(){
int N,M,V,i,j;
scanf("%d",&N);
while(N--){ 
scanf("%d%d",&M,&V);
for(i=1;i<=V;i++)
dp[i]=-1000000;
dp[0]=0;
for(i=0;i<M;i++)
scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
  for(i=0;i<M;i++){
      for(j=c[i];j<=V;j++){
      dp[j]=max(dp[j-c[i]]+w[i],dp[j]);
      }    
  } 
 if(dp[V]<0)
 printf("NO\n");
 else
 printf("%d\n",dp[V]); 
}    
}

解题思路：

0-1背包的状态转移方程是

for i = 1 to N
for v = V to Ci
F [v] = max{F [v],F [v ? Ci] + Wi}
完全背包就是不限制物品使用个数，可以无限使用，也就是可以重复放置一个物体

转移方程

for i = 1 to N
for v = Ci to V
F [v] = max(F [v], F [v ? Ci] + Wi)
你会发现，这个伪代码与01背包问题的伪代码只有v的循环次序不同而已。
为什么这个算法就可行呢？首先想想为什么01背包中要按照v递减的次序来
循环。让v递减是为了保证第i次循环中的状态F [i, v]是由状态F [i ? 1, v ? Ci]递
推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，因为质量在减少不可能再能加入一个和原来质量一样大的物品，
而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以采用“质量增加”的循环，因此后面可能会继续加入和原来质量一样的物品。。