P4463 [集训队互测2012] calc 拉格朗日插值 dp 多项式分析

Posted 2020-12-10 chdy

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容易得到一个nk的dp做法 同时发现走不通了 此时可以考虑暴力生成函数。

不过化简那套不太熟 且最后需要求多项式幂级数及多项式exp等难写的东西。

这里考虑观察优化dp的做法。

不容易看出 f(n,k)是关于k的2n+1次多项式。

证明可以用数学归纳法证明 且还可以从非常规律的转移中看出这应该是一个形似多项式的东西。

可以直接O(n)拉格朗日插值 不过这里懒得写因为 外面dp是(n^2)求点值的所以这里没必要O(n).

注意初始化.

const ll MAXN=1010;
ll n,mod,k;
ll f[MAXN][MAXN];
ll x[MAXN],y[MAXN];
inline ll ksm(ll b,ll p)
{
	ll cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=cnt*b%mod;
		p=p>>1;b=b*b%mod;
	}
	return cnt;
}
inline ll lagrange(ll m,ll z)
{
	rep(1,m,i)x[i]=i,y[i]=f[n][i];
	ll ans=0;
	rep(1,m,i)
	{
		ll cnt1=1,cnt2=1;
		rep(1,m,j)if(i!=j)cnt1=(cnt1*(z-x[j]))%mod,cnt2=(cnt2*(x[i]-x[j]))%mod;
		cnt2=ksm(cnt2,mod-2);
		cnt1=cnt1*cnt2%mod*y[i]%mod;
		ans=(ans+cnt1)%mod;
	}
	return (ans+mod)%mod;
}
signed main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(k);get(n);get(mod);ll ans=1;
	rep(0,(n<<1|1),j)f[0][j]=1;
	rep(1,n,i)
	{
		ans=ans*i%mod;
		rep(1,min(k,(n<<1|1)),j)f[i][j]=(j*f[i-1][j-1]+f[i][j-1])%mod;
	}
	if(k<=(n<<1|1))putl(ans*f[n][k]%mod);
	else putl(lagrange(n<<1|1,k)*ans%mod);
	return 0;
}