LuoguP4463 [集训队互测2012] calc DP+拉格朗日插值

Posted 2020-12-17 guangheli

这道题的题意不太明确.    

应该是两个序列 $a,b$ 不同，当且仅当存在位置 $i$ 使得 $a[i]$ 不等于 $b[i]$.  

朴素的 DP 非常好列：$f[i][j]$ 表示选了 $i$ 个数，且值域为 $[1,j]$ 的总价值和.    

那么有 $f[i][j]=f[i-1][j-1] imes j+f[i][j-1]$，直接算的话复杂度是 $O(nD)$ 的.   

但是我们可以猜测这是一个关于 $j$ 的 $g_{i}$ 次多项式.    

有一个结论：对于 $n$ 次多项式 $h(x)$，满足 $h(x)-h(x-1)$ 是 $n-1$ 次多项式.   

那么有 $f[i][j]-f[i][j-1]=f[i-1][j-1] imes j$.    

将 $g$ 带入，有 $g_{i}-1=g_{i-1}+1$.    

即 $g_{i}=g_{i-1}+2$，说明这是一个关于 $j$ 的 $2 imes i$ 次多项式.    

那么我们就求出 $f[n][1...2n+1]$ 后将值带入，然后拉格朗日插值来插一下就行了.   

code:   

#include <cstdio>  
#include <cstring>
#include <algorithm> 
#define N 2002
#define ll long long 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std; 
int D,n,mod,tot,f[N][N],fac[N];  
void init() {
    fac[0]=1;  
    for(int i=1;i<N;++i) {
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;   
    }
}
struct point {
    int x,y;  
    point(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}  
}a[N];  
int qpow(int x,int y) {
    int tmp=1; 
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)  
        if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod; 
    return tmp; 
}  
int get_inv(int x) {
    return qpow(x,mod-2);   
}
int calc() {
    int ans=0;   
    for(int i=1;i<=tot;++i) {  
        int inv=1,up=1;    
        for(int j=1;j<=tot;++j) {
            if(i==j) continue;     
            up=(ll)up*(D-a[j].x+mod)%mod;    
            inv=(ll)inv*(a[i].x-a[j].x+mod)%mod;   
        }
        inv=get_inv(inv);   
        (ans+=(ll)a[i].y*up%mod*inv%mod)%=mod;  
    }
    return ans;   
}
int main() {          
    // setIO("input");    
    scanf("%d%d%d",&D,&n,&mod);  
    init(); 
    for(int i=0;i<=2*n+1;++i) f[0][i]=1;   
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        for(int j=1;j<=2*n+1;++j) {
            f[i][j]=(ll)(f[i][j-1]+(ll)f[i-1][j-1]*j%mod)%mod;  
        }
    } 
    for(int i=1;i<=2*n+1;++i) {
        a[++tot]=point(i,f[n][i]);    
    }
    printf("%d
",(ll)calc()*fac[n]%mod);   
    return 0;   
}