51Nod-1254 最大子段和V2 题解

Posted 2020-12-10 kuangbiaopilihu

题目描述

(N) 个整数组成的序列(a[1],a[2],a[3],…,a[n])，你可以对数组中的一对元素进行交换，并且交换后求 (a[1]) 至 (a[n]) 的最大子段和，所能得到的结果是所有交换中最大的。当所给的整数均为负数时和为0（即选取的字段可以为空）。
例如：({-2,11,-4,13,-5,-2, 4}) 将 (-4) 和 (4) 交换，({-2,11,4,13,-5,-2, -4})，最大子段和为 (11 + 4 + 13 = 28)。

输入格式

第(1)行：整数序列的长度 (N（2 <= N <= 50000))
第(2)行：(N)个整数（(-10^9 <= A[i] <= 10^9)）

输出格式

输出交换一次后的最大子段和。

输入样例

7
-2 11 -4 13 -5 -2 4

输出样例

28

分析

• 首先很容易想要一个错误的解法就是，先找到一个最大子段和，然后从其他地方找一个最大值，跟里面的最小值交换，反例比较容易想到：(-9, 5, 1, 7, -10, 5, 4)，最大子段和为 ({5, 1, 7})，但是用 (4) 换 (-10) 结果才是最优的。
• 我们可以从交换的数入手，如果某个数与 (a[i]) 交换后，最优解为包含新 (a[i]) 的最大子段和。那么这个子段和的构成就是 (新的a[i]+a[i-1]向左延伸的最大子段和+a[i+1] 向右延伸的最大子段和)
• 那么这个用来与 (a[i]) 交换的值怎么找呢？很显然只能从“向左/右延伸的区间”和“延伸以外的区间”两种区域来找一个最大值（肯定是要拿最大值换子段中的最小值）。
  • 如果从“向左/右延伸的区间”来找最大值，假设我们向右延伸的右边界为 (r)，其实最终得到的和等于以 (r) 为结尾的最大子段和，这样肯定不会比从“延伸以外的区间”找个最大值（如果能找到，则交换，如果找不到就不换）更优。
  • 因此，就只能从“延伸以外的区间”找一个最大值（如果能找到）来与 (a[i]) 交换。
• 借助以上的思路，我们需要维护以某个点为结尾/开始的最大子段和，及延伸到的左/右边界，DP一下即可，例如求以 (a[i]) 结尾的最大子段和：(leftmaxsubsum[i] = max(leftmaxsubsum[i-1]+a[i], 0))。以 (a[i]) 开头的同理。
• 因为还需要找最值，所以还需要维护以某个点为结尾/开始的最大值 leftmax[i] 和 rightmax[i]。
• 我们枚举每个被替换的数 (a[i])，那么答案就是：
  [max_{i=1}^{n}(leftmaxsubsum[i-1]+rightmaxsubsum[i+1]+max(leftmax[i-2], rightmax[i+2])) ]

注意边界问题的处理，不要出现负的下标等等

// 求第i个数向左延伸的最大子段和（向右的一样）
leftmaxsubsum[0] = 0;
lpos[0] = 0; // 记录向左延伸到的位置
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
	if (leftmaxsubsum[i - 1] + a[i] > 0) {
		leftmaxsubsum[i] = leftmaxsubsum[i - 1] + a[i];
		lpos[i] = lpos[i - 1];  // 如果直接拼接到前面，延伸到位置就是前面一个数延伸到的位置
	} else {
		leftmaxsubsum[i] = 0;
		lpos[i] = 0; //如果一个数也不能延伸，相当于一个空字段，记为0
	}
	if (a[i] > 0 && lpos[i] == 0) lpos[i] = i; // 有可能前面的数不能延伸，但是a[i]大于0，那么相当于该子段只有它自己
}

// 枚举每个被替换的点
ll ans = 0, tmp;
ll l, r;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        // 先找到延伸到的边界
	if (lpos[i - 1] == 0) { // 不能延伸的情况
		l = leftmax[i - 1];
	} else { // 能延伸的情况
		l = leftmax[lpos[i - 1] - 1];
	}
	if (rpos[i + 1] == 0) {
		r = rightmax[i + 1];
	} else {
		r = rightmax[rpos[i + 1] + 1];
	}

	tmp = leftmaxsubsum[i - 1] + rightmaxsubsum[i + 1] + max(l, r);
	ans = max(ans, tmp);
}