12.分而治之-归并排序

Posted 2020-12-08

分而治之归并排序

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前面我们学习了时间复杂度 O(n2) 的经典排序算法：冒泡排序、插入排序、选择排序，今天我们来学习时间复杂度为 O(nlogn) 的归并排序，这种排序思想也更加常用。

归并排序和快速排序都用到了 分治思想 。

作为一种典型的分而治之思想的算法应用，归并排序的实现由两种方法：

• 自上而下的递归（所有递归的方法都可以用迭代重写，所以就有了第 2 种方法）；
• 自下而上的迭代；

原理

把数组从中间分成左右两部分，然后对左右两部分分别排序，再将排序号的两部分合并在一起，最后整个序列有序。其实就是运用了分治思想，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题。

是不是跟递归很像，分治一般都是用递归来实现。分治是一种解决问题的处理思想，递归是一种编程技巧。

递推公式

之前我们在 递归 篇说过，递归代码的技巧就是分析递推公式，找出终止条件，然后把递推公式翻译代码。

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：
p >= r 不用再继续分解

我来解释一下这个递推公式。

merge_sort(p…r) 表示，给下标从 p 到 r 之间的数组排序。我们将这个排序问题转化为了两个子问题，merge_sort(p…q) 和 merge_sort(q+1…r)，其中下标 q 等于 p 和 r 的中间位置，也就是 (p+r)/2。当下标从 p 到 q 和从 q+1 到 r 这两个子数组都排好序之后，我们再将两个有序的子数组合并在一起，这样下标从 p 到 r 之间的数据就也排好序了。

public static void mergeSort(int[] arr) {
    sort(arr, 0, arr.length - 1);
}

public static void sort(int[] arr, int left, int right) {
    // 递归终止条件
    if(left >= right) {
        return;
    }
    // 获取 left right 之间的中间位置
    int mid = left + ((right - left) >> 1);
    // 分治递归
    sort(arr, left, mid);
    sort(arr, mid + 1, right);
    merge(arr, left, mid, right);
}

// 合并数据
public static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right) {
    int[] temp = new int[right - left + 1];
    int i = 0;
    int p1 = left;
    int p2 = mid + 1;
    // 比较左右两部分的元素，哪个小，把那个元素填入temp中
    while(p1 <= mid && p2 <= right) {
        temp[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
    }
    // 上面的循环退出后，把剩余的元素依次填入到temp中
    // 以下两个while只有一个会执行
    while(p1 <= mid) {
        temp[i++] = arr[p1++];
    }
    while(p2 <= right) {
        temp[i++] = arr[p2++];
    }
    // 把最终的排序的结果复制给原数组
    for(i = 0; i < temp.length; i++) {
        arr[left + i] = temp[i];
    }
}

性能分析

第一，归并排序是稳定的排序算法吗？

你应该能发现，归并排序稳不稳定关键要看 merge() 函数，也就是两个有序子数组合并成一个有序数组的那部分代码。

在合并的过程中，如果 A[left…mid] 和 A[mid+1…right] 之间有值相同的元素，那我们可以像伪代码中那样，先把 A[left…mid] 中的元素放入 tmp 数组。这样就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一个稳定的排序算法。

第二，归并排序的时间复杂度是多少？

归并排序涉及递归，时间复杂度的分析稍微有点复杂。我们正好借此机会来学习一下，如何分析递归代码的时间复杂度。

在递归那一节我们讲过，递归的适用场景是，一个问题 a 可以分解为多个子问题 b、c，那求解问题 a 就可以分解为求解问题 b、c。问题 b、c 解决之后，我们再把 b、c 的结果合并成 a 的结果。

如果我们定义求解问题 a 的时间是 T(a)，求解问题 b、c 的时间分别是 T(b) 和 T( c)，那我们就可以得到这样的递推关系式：其中 K 等于将两个子问题 b、c 的结果合并成问题 a 的结果所消耗的时间。

T(a) = T(b) + T(c) + K

我们可以得到一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。

我们假设对 n 个元素进行归并排序需要的时间是 T(n)，那分解成两个子数组排序的时间都是 T(n/2)。我们知道，merge() 函数合并两个有序子数组的时间复杂度是 O(n)。所以，套用前面的公式，归并排序的时间复杂度的计算公式就是：

T(1) = C；   n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1

通过这个公式，如何来求解 T(n) 呢？还不够直观？那我们再进一步分解一下计算过程。

T(n) = 2*T(n/2) + n
     = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
     = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
     = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
     ......
     = 2^k * T(n/2^k) + k * n
     ......

通过这样一步一步分解推导，我们可以得到 T(n) = 2^kT(n/2^k)+kn。当 T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到 k=log2n 。我们将 k 值代入上面的公式，得到 T(n)=Cn+nlog2n 。如果我们用大 O 标记法来表示的话，T(n) 就等于 O(nlogn)。所以归并排序的时间复杂度是 O(nlogn), 不管是最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O(nlogn)。

第三，归并排序的空间复杂度是多少？

归并排序的时间复杂度任何情况下都是 O(nlogn)，看起来非常优秀。（待会儿你会发现，即便是快速排序，最坏情况下，时间复杂度也是 O(n2)。）但是，归并排序并没有像快排那样，应用广泛，这是为什么呢？因为它有一个致命的“弱点”，那就是归并排序不是原地排序算法。

这是因为归并排序的合并函数，在合并两个有序数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。

实际上，递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。刚刚我们忘记了最重要的一点，那就是，尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)。

课后思考

现在你有 10 个接口访问日志文件，每个日志文件大小约 300MB，每个文件里的日志都是按照时间戳从小到大排序的。你希望将这 10 个较小的日志文件，合并为 1 个日志文件，合并之后的日志仍然按照时间戳从小到大排列。如果处理上述排序任务的机器内存只有 1GB，你有什么好的解决思路，能“快速”地将这 10 个日志文件合并吗？

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