6700. 2020.06.07省选模拟得分

Posted 2020-12-08 jz-597

题目

有(n)个物品，价值为(A_i)。取得一个物品需要花费(t_i)的时间。
设(T=sum t_i)。这些物品都要取完，总共要花(T)的时间。
物品的价值会随着时间递增而减少。
如果在时刻(x)取完物品(i)，则此时收获的价值为(A_i(1-frac{cx}{T}))
求(c)的最大值，使得：对于所有的最终获得价值尽量多的最优方案，都不存在满足(A_i>A_j)的(i,j)同时满足(A_i(1-frac{cx_i}{T})<A_j(1-frac{cx_j}{T}))。
(nleq2e5)

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思考历程&正解

看到部分分中的(frac{A_i}{t_i})，心中有些想法。知道自己不会证于是写了程序拍一下发现是对的……
（具体证明可以考虑相邻物品的顺序）
接下来的问题是若何决定(frac{A_i}{t_i})相同的块中内部的顺序。
于是接下来另外猜结论，证明靠拍，搞了半天发现下一个结论是错了……
后来发现我思想僵化，以为一定存在一种排列方式，使得它的(c)永远是最大的……

在乱搞的时候很容易发现这条式子：

[frac{T}{c}geqfrac{A_ix_i-A_jx_j}{A_i-A_j} ]

右边的那条东西显然是个斜率的形式。
那么可以考虑，对于(i)来说，最大的斜率是多少。
那么我们希望(x_i)尽量大，(x_j)尽量小。
于是钦定(i)所在块最后一个被选的（时间记为(R_i)），(j)为所在块第一个被选的（时间记为(L_i)）。这个时间可以预处理出来。
按照(A_i)从小往大的顺序操作。建立平面直角坐标系。在加入(A_i)之前，计算当前坐标系中的点和((A_i,A_iR_i))的最大斜率；计算之后将((A_i,A_iL_i))丢入坐标系中。
比赛时我二分(frac{1}{c})的值，将其转化为判定性问题之后，发现特别好写……
如果我不是被垃圾C++坑了，我就AC了……（二分的精度设置了1e-10，然后到了这个精度之后(mid)算出来永远跟(l)一样，然后就死循环了……）

比赛之后gmh77发表了他的(O(n))的撵爆正解的方法：
不需要二分，只需要比较相邻点即可……
具体的理解，可以自己画图看看，或者根据二分之后判定的代码，不难发现这个是等价的。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 200010
#define ll long long
int n;
struct Problem{
	int a,t;
} p[N];
bool cmpp(Problem x,Problem y){return (ll)x.a*y.t>(ll)y.a*x.t;}
double L[N],R[N];
int q[N];
bool cmpq(int x,int y){return p[x].a<p[y].a;}
bool judge(double k){
	double b=1e17,lstx=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		double x=p[q[i]].a,y=p[q[i]].a*R[q[i]];
		b+=(x-lstx)*k;
		if (lstx<x && b<y)
			return 0;
		y=p[q[i]].a*L[q[i]];
		b=min(b,y);
		lstx=x;
	}
	return 1;
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	freopen("score.in","r",stdin);
	freopen("score.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i].a);
	ll T=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i].t),T+=p[i].t;
	sort(p+1,p+n+1,cmpp);
	p[0]={1,0},p[n+1]={0,1};
	ll sumt=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		L[i]=((ll)p[i].a*p[i-1].t==(ll)p[i-1].a*p[i].t?L[i-1]:sumt);
		sumt+=p[i].t;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		L[i]+=p[i].t;
	for (int i=n;i>=1;--i){
		R[i]=((ll)p[i].a*p[i+1].t==(ll)p[i+1].a*p[i].t?R[i+1]:sumt);
		sumt-=p[i].t;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		L[i]/=T,R[i]/=T;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		q[i]=i;
	sort(q+1,q+n+1,cmpq);
	double l=0,r=1e16;
	while (r-l>1e-8){
		double mid=(l+r)/2;
		if (judge(mid))
			r=mid;
		else
			l=mid;
	}
	double c=1/r;
	c=min(c,1.0);
	printf("%.9lf
",c);
	return 0;
}

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总结

二分精度不能太大，学到了……