题解-CF1307G Cow and Exercise

Posted 2020-12-08 wendigo

CF1307G Cow and Exercise

给 (n) 点 (m) 边的带权有向图，边 (i) 为 ((u_i,v_i,w_i))。(q) 次询问，每次给 (x_i)，问修改一些边使整张图的边权和增加 (x_i) 后最短路最大值（可以把边权修改为浮点数）。

数据范围：(2le nle 50)，(1le mle ncdot (n-1))，(1le u_i,v_ile n)，(1le w_ile 10^6)，(1le qle 10^5)，(0le x_ile 10^5)。

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学网络流不能错过的经典例题啊！这题的思想真是又巧妙又易懂又实用。

我写的题解如下，貌似废话很多。。。

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如下图：

如果 (x=0)，最短路最长为 (7)。

如果 (x=1)，最短路最长为 (8)。((1,4,3) o(1,4,4))。

如果 (x=2)，最短路最长为 (9)。((1,4,3) o(1,4,5))。

如果 (x=3)，最短路最长为 (9.5)。((1,4,3) o(1,4,5.5))，((1,2,4) o(1,2,4.5))。

如果 (x=4)，最短路最长为 (10)。((1,4,3) o(1,4,6))，((1,2,4) o(1,2,5))。

(cdots)

直到 (x=infty)，都只需要改 ((1,4,3)) 和 ((1,2,4)) 两条边。

因为它们是图中三条路径的必经之路。

学过的人应该可以发现：它们便是无权图上的最小割边。

要使带权图最短路最长，修改最小割边是最优的。

将经过同一个最小割边的路径归为一个路径集。

如上图中，设经过 ((1,2,4)) 的路径集为 (S_1)，经过 ((1,4,3)) 的路径集为 (S_2)。

当 (0le xle 2) 时，只需修改 (S_2) 的割边 ((1,4,3))。

当 (3le x) 时，需要修改 (S_1) 和 (S_2) 的割边，并要使两个路径集的最短路径相等。

类推一下，根据平均的思想，可以得出：

1. 无论 (x) 取何值，修改最短路径长度最短的 (k) 个路径集，并使它们修改后相等是最优的。

2. 假设这 (k) 个路径集修改后的最短路径都为 (L)，则应有对于任何未被修改割边的路径集，最短路径长度 (ge L)。否则去修改这条路径必然更优。

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所以就可以让费用流算法上路了，这题建议用 ( t EK)，因为这东西很乖的，一次就增广一个路径集。

回想一下 ( t EK) 的套路：( t Spfa) 找到最短路，然后增广。

如果让网络流的边 (flow_i=1,cost_i=w_i)，则有：

增广 (k) 次后，当前的 (flow=k)，并且当前的 (cost) 为 (k) 个路径集的最短路长度和。

所以可以把每次增广后的 (flow) 和 (cost) 扔进 ( t vector) 里。

然后对于每个询问，(Res=min{frac{cost_j+x}{flow_j}})。

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这时有个问题：要是 (j) 不等于最优的 (k) 怎么办？

有个很神奇的结论：对于 (j=k) 的情况，(frac{cost_j+x}{flow_j}) 最小。

根据上面的结论，如果 (j>k)，因为把最短路径更长的路径集也考虑进来了，所以 (frac{cost_j+x}{flow_j}>frac{cost_k+x}{flow_k})。

如果 (j<k)，那么修改完后这 (j) 个路径集的最短路径会 (>) 剩下未被修改的 (k-j) 个路径集，所以也可得这结论。

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时间复杂度 (Theta(n^4+nq))。

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• 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define b(a) a.begin()
#define e(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=50;
int n,m,q;
vector<pair<int,int>> fc;

//EK
int fn,s,t;
vector<int> e[N+7],to,fw,co;
void add(int u,int v,int f,int c){
	e[u].pb(sz(to)),to.pb(v),fw.pb(f),co.pb(+c);
	e[v].pb(sz(to)),to.pb(u),fw.pb(0),co.pb(-c);
}
int dep[N+7],p[N+7],vis[N+7];
int Bfs(){
	for(int i=1;i<=fn;i++) dep[i]=inf,vis[i]=0;
	queue<int> q; q.push(s),vis[s]=1,dep[s]=0;
	while(sz(q)){
		int u=q.front(); q.pop(),vis[u]=0;
		for(int&v:e[u])if(fw[v]&&dep[to[v]]>dep[u]+co[v]){
			dep[to[v]]=dep[u]+co[v],p[to[v]]=v;
			if(!vis[to[v]]) vis[to[v]]=1,q.push(to[v]);
		}
	}
	return dep[t]<inf;
}
int flow,cost;
void EK(){
	while(Bfs()){
		int f=inf;
		for(int i=t;i!=s;i=to[p[i]^1]) f=min(f,fw[p[i]]);
		flow+=f,cost+=dep[t]*f;
		for(int i=t;i!=s;i=to[p[i]^1]) fw[p[i]]-=f,fw[p[i]^1]+=f;
		fc.pb(mp(flow,cost));
	}
}

//Main
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,1,w);
	s=1,t=fn=n,EK();
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1,x;i<=q;i++){
		scanf("%d",&x);
		db res=inf;
		for(auto d:fc) res=min(res,db(d.y+x)/d.x);
		printf("%.10lf
",res);
	}
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！