矩形脉冲性质

Posted 2020-12-07 lafiizh

矩形脉冲在实际应用中十分常见，数字信号可以看做是上下跳变沿构成的很多矩形脉冲串，脉冲雷达也以周期矩形脉冲作为发射信号。

假设周期矩形脉冲信号为(f(t))，如下图所示

(f(t))的数学表达式可以写成

[f(t) = { egin{matrix} E& nT-frac{ au}{2}<t<nT+frac{ au}{2}\\ 0&nT+frac{ au}{2}<t<(n+1)T-frac{ au}{2} end{matrix} ]

这里的(n)为整数。

傅里叶级数可以表示为

[f(t) = frac{E au}{T} sum^{infty}_{n=-infty} frac{sin{frac{n omega_1 au}{2}}}{frac{n omega_1 au}{2}} e^{-jnomega_1 t} ]

这里的(omega_1 = frac{1}{T})

幅值为0的零点，要求(sin{frac{n omega_1 au}{2}} = 0)。那么，经过一些转化可以得到(omega = frac{2 pi m}{ au})，这里的(omega = n omega_1)，不失一般性。不难看出，这里只有当(T)与( au)满足一定的整数倍关系的时候某些零点才会显现，(m)的取指能决定是第几个零点。

一般认为，矩形脉冲的大部分能量在正向第一过零点包括的频带范围内，所以一般认为，矩形脉冲的带宽为

[Bw = frac{2 pi}{ au} ]

单个脉冲信号的傅里叶变换。由于周期脉冲信号是无限长的，能量是无限大的，不满足傅里叶变换的条件，所以这里考察单个矩形脉冲的傅里叶变化结果，这里的(f(t))只包括上面截断的一部分

这时候信号丢失了周期信息。

根据傅里叶变换的定义可以很容易的求出结果

[F(omega) = E au Sa(wfrac{ au}{2}) ]

过零点信息与上面一样

[omega = frac{2 m pi}{ au} ]