信号与系统_第三章_学习心得
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了信号与系统_第三章_学习心得相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
信号的正交分解
相关系数
[ C_{12}=frac{int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt}{int_{t_1}^{t_2}f_2^2(t)dt} ]
正交条件
[ int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0 ]
上式为
(f_1(t))和(f_2(t))在(t_1)至(t_2)区间内的正交条件,满足此条件时,称(f_1(t))和(f_2(t))在(t_1)至(t_2)区间内互为正交函数.
连续时间周期信号的傅氏级数
三角形式的傅氏级数
周期信号(f(x))可表示为如下线性组合
[
f(x)=a_0+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nomega_1t+b_nsin nomega_1t),nin mathbb{Z}
]
上式是傅氏级数的三角形式,其中的(a_0,a_n,b_n)由如下公式定义
[
egin{cases}
a_0=frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)dta_n=frac{2}{T}int_{0}^{T}f(t)cos nomega_1tdt,nin mathbb{N}_n=frac{2}{T}int_{0}^{T}f(t)sin nomega_1tdt,nin mathbb{N}
end{cases}
]
指数形式的傅氏级数
周期信号(f(x))亦可表示为如下线性组合
[
f(t)=sum_{n=-infty}^{infty}F(nomega_1)e^{jnomega_1t}
]
上式是傅氏级数的指数形式,其中的(F(nomega_1))被称为谱系数,定义如下
[
F(nomega_1)=frac{1}{T}int_{0}^{T}f(t)e^{-jnomega_1t}dt,nin mathbb{Z}
]
谱系数也可表示为(F_n),如果写成指数式,得(F_n=|F_n|e^{jvarphi_n}),说明他包含了(n)次谐波(|F_n|)和(n)次谐波相位(varphi_n),在频域包含了信号的所有信息.
两种傅氏级数的关系
[ F(pm nomega_1)=frac{1}{2}(a_nmp jb_n) ]
周期矩形脉冲的频谱和周期的关系
周期矩形脉冲的傅氏级数为
[
F_n=frac{E au}{T}Sa(frac{npi au}{T})
]
式中( au)是每一脉冲持续时间,高度为(E),重复周期为(T).
频谱图的谱线出现的坐标为(nomega_1),其中(omega_1=frac{2pi}{T})为基频(频谱宽度),频谱的包络线的第一零点为(omega_0=frac{2pi}{ au}).
周期越长,频谱越密.
从原点到频谱第一零点的宽度称为频宽/带宽.
时域中信号持续时间越短,频域中信号占有的频带也越宽.
一道典型例题
若已知(f(t)=1+sin omega_1t+2cos omega_1t+cos(2omega_1t+frac{pi}{4})),画出其幅度频谱和相位频谱.
? 解: 根据辅助角公式(asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sin(x+arctanfrac{b}{a})),得
[
egin{align}
f(t)&=1+sqrt{1+2^2}cos(omega_1t+arctan(2)-frac{pi}{2})+cos(2omega_1t+frac{pi}{4})
otag&=1+sqrt{5}cos(omega_1t-0.148pi)+cos(2omega_1t+frac{pi}{4}) ag{*}
end{align}
]
? 便可以通过((*))式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.
? 也可直接转化为指数形式,得
[
egin{align}
f(t)&=1+frac{1}{2j}(e^{jomega_1t}-e^{-jomega_1t})+(e^{jomega_1t}+e^{-jomega_1t})+frac{1}{2}(e^{j(2omega_1t+frac{pi}{4})}-e^{-j(2omega_1t+frac{pi}{4})})
otag&=1+(1+frac{1}{2j})e^{jomega_1t}+(1-frac{1}{2j})e^{jomega_1t}+(frac{1}{2}e^{frac{jpi}{4}})e^{j2omega_1t}+(frac{1}{2}e^{-frac{jpi}{4}})e^{j2omega_1t}
otag&=sum_{n=-2}^{2}F_ne^{jnomega_1t}
otag
end{align}
]
? 谱系数分别为
[
egin{cases}
egin{align}
F_0&=1=1cdot e^{jcdot 0}
otagF_1&=1+frac{1}{2j}=1-frac{j}{2}=1.12e^{-j0.148pi}
otagF_2&=frac{1}{2}e^{frac{jpi}{4}}=0.5e^{j0.25pi}
otagF_{-1}&=1-frac{1}{2j}=1+frac{j}{2}=1.12e^{j0.148pi}
otagF_{-2}&=frac{1}{2}e^{-frac{jpi}{4}}=0.5e^{-j0.25pi}
otag
end{align}
end{cases} ag{**}
]
? 便可以通过((**))式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.
傅氏级数的性质
时移性质
[ f(t-t_0)leftrightarrow F_ne^{-jnomega_1t_0} ]
微分性质
[ f^{'}(t)leftrightarrow (jnomega_1)F_n ]
对称性质
偶函数
[ egin{align} b_n&=0 otag\varphi_n&=0 otag end{align} ]
奇函数
[ egin{align} a_0&=a_n=0 otag\ varphi_n&=-frac{pi}{2} otag end{align} ]
奇谐函数
[ egin{align} a_0&=0 otaga_n&=b_n=0, ext{n is even} otag end{align} ]
偶谐函数
[ a_n=b_n=0, ext{n is odd} ]
连续时间非周期信号的傅氏变换
傅氏变换
非周期信号(f(t))的傅氏变换为
[
f(t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}F(omega)e^{jomega t}domega
]
其中(f(omega))称为频谱函数,定义为
[
F(omega)=int_{-infty}^{infty}f(t)e^{-jomega t}dt
]
上两式构成一对变换对(f(t)leftrightarrow F(omega)).
傅氏变换存在的充分条件为绝对可积条件,即
[
int_{-infty}^{infty}|f(t)|dt= ext{finite value}
]
典型非周期信号的傅氏变换
矩形脉冲信号(门函数)
[ egin{align} f(t)&=EG_ au(t)=e[u(t+frac{ au}{2})-u(t-frac{ au}{2})] otagF(omega)&=E au ext{Sa}(frac{omega au}{2}) otag end{align} ]
单边指数信号
[ egin{align} f(t)&=Ee^{-alpha t}u(t) otagF(omega)&=frac{E}{alpha+jomega}=frac{E}{sqrt{alpha^2+omega^2}}e^{-jarctan(frac{omega}{alpha})} otag end{align} ]
高斯脉冲信号
[ egin{align} f(t)&=Ee^{-(at)^2} otagF(omega)&=frac{sqrt{pi}E}{a}e^{-(frac{omega}{2a})^2} otag end{align} ]
直流信号
[ egin{align} f(t)&=E otagF(omega)&=2pi Edelta(omega) otag end{align} ]
符号函数
[ egin{align} f(t)&= ext{sgn}(t)=egin{cases}1,t>0\-1,t<0end{cases} otagF(omega)&=frac{2}{jomega} otag end{align} ]
单位冲激信号
[ egin{align} f(t)&=Edelta(t) otagF(omega)&=E otag end{align} ]
冲激偶信号
[ egin{align} f(t)&=Edelta^{'}(t) otagF(omega)&=Ejomega otag end{align} ]
单位阶跃信号
[ egin{align} f(t)&=u(t) otagF(omega)&=pidelta(omega)+frac{1}{jomega} otag end{align} ]
抽样信号
[ egin{align} f(t)&= ext{Sa}(omega_0t) otagF(omega)&=frac{pi}{omega_0}G_{2omega_0}(omega)=frac{pi}{omega_0}[u(omega+omega_0)-u(omega-omega_0)] otag end{align} ]
三角脉冲信号
[ egin{align} f(t)&= egin{cases} frac{2E}{ au}t+E,-frac{ au}{2}<t<0 otag-frac{2E}{ au}t+E,0<t<frac{ au}{2} otag end{cases}F(omega)&=frac{ au E}{2} ext{Sa}^2(frac{omega au}{4}) otag end{align} ]
傅氏变换的性质
对称性
若满足
[
f(t)leftrightarrow F(omega)
]
则有
[
F(t)leftrightarrow 2pi f(-omega)
]
若(f(t))是偶函数,则有
[
F(t)leftrightarrow 2pi f(omega)
]
此性质的意义为若一个时间函数(F(omega))和偶函数(f(t))的频谱函数(F(omega))形式相同,那么(F(t))的频谱函数与偶函数(f(t))形式相同,但是差一个系数(2pi).
时移特性
[ f(t-t_0)leftrightarrow F(omega)e^{-jomega t_0} ]
尺度变换特性
[ f(at)leftrightarrow frac{1}{|a|}F(frac{omega}{a}) ]
一般的,有
[
f(at+b)leftrightarrow frac{1}{|a|}e^{jomega(frac{b}{a})}F(frac{omega}{a})
]
频移特性
[ f(t)e^{jomega_0t}leftrightarrow F(omega-omega_0) ]
此性质的意义是在时域乘以虚数因子(e^{jomega_1t})相当于在频域右移(omega_0).
通过此性质可迅速得出虚指数信号(e^{jomega_0t})的傅氏变换
[
e^{jomega_0t}leftrightarrow2pidelta(omega-omega_0)
]
时域微分特性
[ f^{(n)}(t)leftrightarrow (jomega)^nF(omega) ]
频域微分特性
[ (-jt)^nf(t)leftrightarrow F^{(n)}(omega) ]
特殊的,有
[
tf(t)leftrightarrow jF^{'}(omega)
]
此式更常用.
在时域中信号乘以(t)或者(t^n)要迅速想到套用该公式.
时域积分特性
如果在(omega=0)时,(F(0)=0)或者(frac{F(omega)}{omega})有界,则有
[
int_{-infty}^{t}f( au)d auleftrightarrow frac{F(omega)}{jomega}
]
如果在(omega=0)时,(F(0)
e0),则有
[
int_{-infty}^{t}f( au)d auleftrightarrowpi F(0)delta(omega)+frac{F(omega)}{jomega}
]
卷积定理
[ egin{align} f_1(t)*f_2(t)&leftrightarrow F_1(omega)F_2(omega) otagf_1(t)f_2(t)&leftrightarrow frac{1}{2pi}F_1(omega)*F_2(omega) otag end{align} ]
卷积定理是通信与信号处理领域应用最广泛的傅氏变换性质.
帕塞瓦尔定理
周期信号(f(t))的平均功率与傅氏系数的关系为
[
P=sum_{n=-infty}^{infty}|F_n|^2
]
这表示信号的平均功率等于傅氏级数各次谐波分量有效值的平方和,时域和频域的能量是守恒的.
[
egin{align}
int_{-infty}^{infty}|f(t)|^2dt&=frac{1}{2pi}int_{infty}^{infty}|F(omega)|^2domega
otag\int_{-infty}^{infty}|f(t)|^2dt&=int_{infty}^{infty}|F(f)|^2df
otag
end{align}
]
上式即为帕塞瓦尔定理,说明信号经过傅氏变换,信号的能量不变,符合能量守恒定律.
附:常用周期函数傅氏变换
冲激序列
[ delta_{t_0}leftrightarrow omega_0sum_{n=-infty}^{infty}delta(omega-nomega_0) ]
正弦/余弦函数
[ egin{align} sin(omega_0t)&leftrightarrow -jpi[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)] otagcos(omega_0t)&leftrightarrow pi[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)] otag end{align} ]
以上是关于信号与系统_第三章_学习心得的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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