SICP 习题 （1.35）解题总结

Posted 2020-09-28

SICP 习题 1.35要求我们证明黄金切割率φ 是变换函数 x => 1+ 1/x 的不动点，然后利用这一事实通过过程fixed-point 计算出φ的值。

首先是有关函数的不动点，这个概念须要理解清晰，后面好几道题都是环绕函数不动点展开的。作者在这里设计这些习题的原因也是希望读者能够关注函数不动点。

事实上有关不动点这个东西我在做习题“1.8”的时候就认为好奇了。为什么“（x+x/y)/2”会不断逼近x的平方根呢？又为什么“(x/y2+2y)/3”会不断逼近x的立方根呢？

当时仅仅顾着做题，就没有深入去考虑，经过1.35開始的几道题才開始对函数的不动点有了一些理解，反过来就认为习题“1.8”里提到的逼近x的立方根的方法比較easy理解了。

要完毕这里的几道习题。大家首先须要读完书中的1.3.3这一节，里面有函数不动点的描写叙述。事实上，1.3.3节中的内容是想说明过程（或者说函数）能够被看作一般性的方法，对过程的通性进行讨论。

只是。作者可能认为用函数不动点这个例子能够非常好地展示过程的通性。所以使用了函数不动点作为例子。对于函数的不动点，我们能够无论过程的内在实现，而在过程外部通过一个一般性的方法求得这些过程的不动点。当然，不是全部函数都有不动点，所以这种方法并非对全部函数生效的。

那么。更进一步须要了解的就是：什么是函数的不动点？

书中是这样描写叙述的：

假设有x满足f(x)=x，那么x就称之为函数f()的不动点。

听起来有点抽象，不太好理解，假设我们用以下的例子可能就比較easy理解了。

我们假设眼下流行的韩国整容技术是一个函数。叫“整容（）”，那么我们非常easy理解以下的等式：

整容（丑女）= 美女

就是一个丑女送进手术室，通过“整容”函数的处理，输出的是一个美女。

可是，事实上的整容没有那么easy，须要一点一点去整，所以我们的函数应该像以下这样：

整容（丑女）= 美一点的丑女

假设我们把“美一点的丑女”送去整容，会有：

整容（美一点的丑女）= 更美一点的丑女

于是乎，假设我们有函数：

整容（整容（整容 ......（整容（整容（整容（整容（丑女）））））））

那么结果就应该非常接近美女了。

最终，假设我们把美女送去整容。出来的还是美女，就是说

整容（美女）= 美女

这个时候就是f(x)=x的时候了，就是说“美女”就是函数“整容”的不动点。

这样你应该能够理解什么是函数的不动点了吧？

理解了函数的不动点，我们再来看看怎样求出一个函数的不动点。

还是用整容的例子，方法比較简单粗暴，就是把随便一个人送去整容。进去之前和送出来后都拍个照片。假设两张照片相差比較大。就说明这个人整容的空间还比較大，弄进去再整，直到进去之前和出来之后看不出什么区别了，那么这个结果就是“整容”函数的不动点了！

假设说“全智贤”是韩国整容界公认的典型美女的话。你随便抓一个人。无论性别，送去给韩国整容医生不断整容，最后出来的都长成“全智贤”那样。

我们就得出了“韩国整容”函数的不动点，那就是“全智贤”。

进一步考察的话。你会发现这个寻找函数不动点的方法和函数本身没太大关系。“整容”的函数能够用这种方法，“健身”的函数也一样。“server调优”的函数也一样。基本思路就是不断反复调用这个函数，直到这个函数对目标不再起作用为止。

这样就能够理解书中的fixed-point函数了：

(define tolerance 0.00001)

(define (fixed-point f first-guess)
  (define (close-enough? v1 v2)
    (< (abs (- v1 v2 )) tolerance))
  (define (try guess)
    (let (( next (f guess)))
      (if (close-enough? guess next)
	  next
	  (try next))))
  (try first-guess))

fixed-point函数的作用就是用first-guess作为初始材料，不断调用函数f对它进行加工，直到f函数的输入值和输出值close-enough为止。

这时候回过来考察1.1.7章的求平方根的函数就有清晰的思路了。

书中提到，假设我们希望求一个数x的平方根，就是要求一个y，使得y^2 = x，由y^2=x推导出一个等式y=x/y，所以我们要求的是变换x => x/y的不动点。

这种描写叙述方式对数学高手们是如此简单，只是对于我等数学白痴来讲还是不好理解。

我对于求平方根的方法的理解过程是这种。

首先我们把问题简化一下，求x的平方根变为求一个已知数的平方根，比方求10的平方根。

这种话我们要求的事实上是一个x，使x * x =10。

或者说是求x1 * x2= 10。同一时候x1= x2。

假设要让x1 * x2=10的条件满足，那么就有x1 = 10 / x2，这个简单的数学转换就好理解了吧。

接着，假设我们设计一个函数f(x)是这种 f(x) = 10/x。上面的等式就能够写成以下这样：

x1 = 10 / x2 = f (x2)

也就是 x1 = f (x2)

假设我们找到了函数f(x)的不动点。就有f(x)= x，就是有：

x1=f(x2) = x2

这时候就是x1=x2的时候了。

恭喜一下你自己吧。你找到求10得平方根的方法了！

只是。。。。

。

可惜的是。就像书中说的，变换x => 10/ x并不收敛！

简单说就是函数f(x)= 10/x没有不动点！

假设上面这些x1，x2不正确你胃口，你还是不理解的话，想象一下以下的场景：

假设你是一个整容医生，须要对人的眼睛进行整容。而高手告诉你的秘诀是两个眼睛长度的乘积等于10的时候就是最漂亮的一双眼睛，你会怎么做呢？

首先你有个常识，就是左右眼要一样大才行，不然整成大小眼了。如今你要做的就是按高手的秘籍整。直到两个眼睛一样大为止。

好，我们这些笨整容医师们。開始手术啦！

有个人来了，量量他的左眼，嘻嘻。左眼长度2CM。啊，多么小的眼睛呀。

那么，按秘籍算一算右眼应该是多大呢？10/2=5！右眼5CM就好了！

手术过后看看完了。大小眼！左眼2CM，右眼5CM。

这不行。把左眼搞成跟右眼一样吧，也是5CM。

再按秘籍算一算右眼应该是多长？左眼5CM。10/5=2，右眼2CM就好了！

手术过后再看！

还是大小眼！左眼5CM，右眼2CM。

继续整！

哈。没完没了了！

人给你整残了你也做不完！

这就叫一个不收敛的变换！

咋办哩？

用书上说到的“平均阻尼”术。

假设你发现一个人左眼2CM，右眼5CM，合理的眼睛长度应该是两个眼睛长度的平均数吧！

应该是(2+5)/2。那就是3.4CM

假设左眼搞成3.4CM长，按秘籍计算的话，右眼应该是10/3.4=2.94左右。

左眼3.4CM，右眼2.94CM。还是大小眼。继续平均一下。眼睛长度应该是(3.4+2.94)/2 吧。大概是3.17.

这就对了嘛，越来越接近了。

所以 x => (x + x/10)/2 这个变化是收敛的。

我们最终能够整出一对漂亮的双眼了！ （上帝呀，千万不要让技术男去做整容医师呀。）

回到题目的本身。题目是要求我们证明黄金切割率 φ 是变换函数 x => 1+ 1/x 的不动点。

黄金切割率φ是什么？翻回书上的1.2.2节先看看:

φ=1.6180

他是怎么求出来的呢，他是按等式φ^2=φ+1求出来的。

也就是说。假设有x^2=x+1。那么x就是黄金切割率。

各位看官请注意，这是SICP书上说的。你要是去百度查黄金切割率可不是这么回事，百度告诉我们黄精切割率是0.618!

于是有人还去百度问，究竟黄金切割率是1.618还是0.618？

事实上两个都对。所谓黄金切割，就是把一个线段AB分成两段。各自是AO和OB，假设AB/AO=AO/OB。那么这个线段AB就被“黄金切割”了，这时候假设我们把黄金切割率记录成AB/AO就是1.618。反过来假设我们记录成AO/AB就是0.618。这也是黄金切割率迷人的地方，由于1/1.618=0.618。

好，方便起见，我们就用x^2=x+1这个表达式吧，我们要证明函数1+1/x的不动点x满足x^2=x+1。

有了上面的一系列分析。你会发现问题不是太难。

我们有一个函数f(x)=1+1/x。还是用x1和x2两个数，x1表示函数输出，x2表示函数输入，就有：

x1=1+1/x2

当我们找到函数f(x)=1+1/x的不动点的时候。意味着f(x)=x，就是说x1=x2。

上面的等式就变为x1=1+1/x1，这时候两边都乘以x1，就有x1^2=x1+1。

哈哈，就是说函数f(x)=1+1/x的不动点x满足方程x^2=x+1。满足方程x^2=x+1的就是φ！

题目的后半部分还要求我们依据这个事实使用fixed-point函数求φ。这就简单了

(fixed-point (lambda (x) (+ 1 (/ 1 x))) 1)