LA3126 训练指南出租车 DAG最小路径覆盖

Posted 2020-12-04 lqllulu

题意

  你在一座城市里负责一个大型活动的接待工作。明天将有m位客人从城市的不同的位置出发，到达他们各自的目的地。已知每个人的出发时间，出发地点和目的地。你的任务是用尽量少的出租车送他们，使得每次出租车接客人时，至少能提前一分钟到达他所在的位置。注意，为了满足这一条件，要么这位客人是这辆出租车接送的第一个人，要么在接送完上一个客人后，有足够的时间从上一个目的地开到这里。

  为了简单起见，假定城区是网格型的，地址用坐标(x,y)表示，出租车从(x1,y1)到(x2,y2)处需要行驶|x1-x2|+|y1-y2|分钟。

分析

  这个模型叫做DAG的最小路径覆盖。所谓最小路径覆盖，就是在图中找尽量少的路径，使得每个结点恰好在一条路径上（换句话说，不同的路径不能有公共点）。注意，单独的一个结点也可以作为一条路径。

  DAG最小路径覆盖的解法如下：把所有的结点i拆为X结点i和Y结点i‘，如果图G中存在有向边i->j，则二分图中引入边i->j‘。设二分图的最大匹配数为m，则结果就是n-m。因为匹配和路径覆盖是一一对应的。对于路径覆盖中的每条简单路径，除了最后一个“结尾结点”以外都有唯一的后继和他对应（既匹配结点），因此匹配数就是非结尾结点的个数，当匹配数达到最大时，此时，结尾结点的个数最少，既路径条数最少。

 

 本题建模：每个客人是一个结点，如果同一个出租车接完客人u以后还来得及接客人v，连边u->v。不难发现，这个图是一个DAG，并且它的最小路径覆盖就是本题的答案。

 

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <iostream>
  4 #include <algorithm>
  5 #include <queue>
  6 #include <cmath>
  7 
  8 using namespace std;
  9 const int maxn=3000+10;
 10 const int maxm=800000;
 11 const int INF=2147483600;
 12 struct Dinic{
 13     int head[maxn],Next[maxm],to[maxm],cap[maxm],flow[maxm];
 14     int sz,n,m,s,t;
 15     bool vis[maxn];
 16     int cur[maxn],d[maxn];
 17     void init(int n){
 18         this->n=n;
 19         memset(head,-1,sizeof(head));
 20         this->sz=-1;
 21     }
 22     void add_edge(int a,int b,int c){
 23         ++sz;
 24         to[sz]=b;
 25         cap[sz]=c;flow[sz]=0;
 26         Next[sz]=head[a];head[a]=sz;
 27         ++sz;
 28         to[sz]=a;
 29         cap[sz]=c;flow[sz]=c;
 30         Next[sz]=head[b];head[b]=sz;
 31     }
 32     bool BFS(){
 33         memset(vis,0,sizeof(vis));
 34         queue<int>Q;
 35         vis[s]=1;
 36         d[s]=0;
 37         Q.push(s);
 38         while(!Q.empty()){
 39             int u=Q.front();Q.pop();
 40             for(int i=head[u];i!=-1;i=Next[i]){
 41                 int v=to[i];
 42                 if(!vis[v]&&cap[i]>flow[i]){
 43                     vis[v]=1;
 44                     d[v]=d[u]+1;
 45                     Q.push(v);
 46                 }
 47             }
 48         }
 49         return vis[t];
 50    }
 51     int DFS(int x,int a){
 52         if(x==t||a==0)return a;
 53         int Flow=0,f;
 54         for(int& i=cur[x];i!=-1;i=Next[i]){
 55             int v=to[i];
 56             if(d[v]==d[x]+1&&(f=DFS(v,min(a,cap[i]-flow[i])))>0){
 57                 Flow+=f;
 58                 flow[i]+=f;
 59                 flow[i^1]-=f;
 60                 a-=f;
 61                 if(a==0)break;
 62             }
 63         }
 64         return Flow;
 65     }
 66     int Maxflow(int s,int t){
 67         this->s=s,this->t=t;
 68         int Flow=0;
 69         while(BFS()){
 70             for(int i=0;i<=n;i++)
 71              cur[i]=head[i];
 72 
 73             Flow+=DFS(s,INF);
 74         }
 75         return Flow;
 76     }
 77 }dinic;
 78 int T,m;
 79 int sth[maxn],stm[maxn],sx[maxn],sy[maxn],enx[maxn],eny[maxn];
 80 int dist(int x1,int y1,int x2,int y2){
 81     return abs(x1-x2)+abs(y1-y2);
 82 }
 83 void pass_time(int hou,int mi,int &Hou,int &Mi,int tim){
 84     Mi=mi+tim;
 85     Hou=hou+Mi/60;
 86     Mi=Mi%60;
 87     return;
 88 }
 89 int main(){
 90     scanf("%d",&T);
 91     for(int t=1;t<=T;t++){
 92         scanf("%d",&m);
 93         dinic.init(2*m+5);
 94         for(int i=1;i<=m;i++){
 95             scanf("%d:%d%d%d%d%d",&sth[i],&stm[i],&sx[i],&sy[i],&enx[i],&eny[i]);
 96         }
 97 
 98         for(int i=1;i<=m;i++){
 99             for(int j=1;j<=m;j++){
100                 int tim=dist(sx[i],sy[i],enx[i],eny[i])+dist(enx[i],eny[i],sx[j],sy[j]);
101                 int Enh,Enm;
102                 pass_time(sth[i],stm[i],Enh,Enm,tim);
103                 if(Enh*60+Enm>=sth[j]*60+stm[j])continue;
104                 dinic.add_edge(i,j+m,1);
105             }
106         }
107         for(int i=1;i<=m;i++)
108           dinic.add_edge(0,i,1);
109         for(int i=1;i<=m;i++)
110           dinic.add_edge(i+m,2*m+1,1);
111         int ans=dinic.Maxflow(0,2*m+1);
112         printf("%d
",m-ans);
113 
114     }
115 return 0;
116 }

View Code