2个组合游戏

Posted 2020-08-19

对于先手而言

必败状态(P position)-->所有后继都是必胜状态

必胜状态(N position)-->有一个后继是必败状态

没有后继的状态是必败状态

 

---

---

---

1.Ferguson博弈

进行游戏需要用到两个盒子，在游戏的开始，第一个盒子中有n枚石子，第二个盒子中有m个石子(n, m > 0)。参与游戏的

两名玩家轮流执行这样的操作：清空一个盒子中的石子，然后从另一个盒子中拿若干石子到被清空的盒子中，使得最后两个

盒子都不空。当两个盒子中都只有一枚石子时，游戏结束。最后成功执行操作的玩家获胜。找出游戏中所有的P位置。

(1)topo序(m+n)递推

(2)对于一个位置(x, y)来说，如果x, y中有一个偶数，那么(x, y)是N（必胜）位置。如果x和y都是奇数，那么(x, y)是P位置（必败）

 

证明：
证明结论：(x,y)至少一偶时，先手胜；都为奇时，先手败

证明：
(x,y)=(1,1)时是先手必败态，下对max(x,y)>1进行归纳

1、当max(x,y)=2时，即(x,y)=(1,2)或（2,1）或（2,2），先手留下一个2分为（1,1），先手获胜。
即当max(x,y)=2时结论成立。

2、假设max(x,y)<k时结论都成立，现证max(x,y)=k时结论成立。
若（x,y)中有一个偶数(设为a)，先手将另一个清空，把偶数a分为两个奇数b和c，由于b、c<a 小于等于 k，即
max(b,c)<k,由假设，在（b,c)位置上后手作为新先手必败，故先手胜。

若(x,y)都为奇数，先手只能保留一个奇数并将其分解为一奇a一偶b,由于max(a,b)<max(x,y)=k,由假设，在（a,b)位
置上后手作为新先手必胜，故先手败。

View Code

 

---

2.Chomp!游戏

有一个n*m的棋盘，每次可以取走一个方格并拿掉它右边和上面的所有方格。拿到左下角的格子(1,1)者输，如下图是8*3的

棋盘中拿掉(6,2)和(2,3)后的状态。

 

 

结论：答案是除了1*1的棋盘，对于其他大小的棋盘，先手总能赢。

证明如下：

如果后手能赢，也就是说后手有必胜策略，使得无论先手第一次取哪个石子，后手都能获得最后的胜利。那么现在假设先手

取最右上角的石子(n,m)，接下来后手通过某种取法使得自己进入必胜的局面。但事实上，先手在第一次取的时候就可以和

后手这次取的一样，进入必胜局面了，与假设矛盾。

约数游戏：有1~n个数字，两个人轮流选择一个数字，并把它和它的约数擦去。擦去最后一个数的人赢，问谁会获胜。

分析：类似巧克力游戏，得到结论就是无论n是几，都是先手必胜。