数据结构-图

Posted 2020-12-02 zhibei

图的邻接矩阵：图的邻接矩阵存储方式是用两个数组表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中边或弧的信息。如下图所示：

 

 

无向图的边数组是一个对称矩阵。有向图矩阵不对称。

图的遍历：深度优先更适合目标比较明确，以找到目标为主要目的情况，而广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优的情况。

在网图和非网图中，最短路径的含义是不同的。由于非网图它没有边上的权值，所谓的最短路径，其实就是指两个顶点之间经过的边数最少的路径；而对于网图来说，最短路径，是指两定点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点。显然，我们研究网图更有实际意义。

迪杰斯特拉算法并不是一下子求出源点到终点的最短路径，而是一步步求出他们之间顶点的最短路径，过程中都是基于已经求出的最短路径的基础上，球的更远顶点的最短路径，最终得到你要的结果。

对AOV网进行拓扑排序的基本思路是：从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部定点或者AOV网中不存在入度为0的顶点为止。

在AOV网中，我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫做关键路径，在关键路径上的活动叫做关键活动。

总结：图的存储结构我们一共讲了五种，如下图所示：

 

 

其中比较重要的是邻接矩阵和邻接表，他们分别代表着边集是用数组还是链表的方式存储。十字链表是邻接矩阵的一种升级，而临界多重表则是邻接表的升级。边集数组更多考虑的是对边的关注。用什么存储结构需要具体问题具体分析，通常稠密图，或读存数据较多，结构修改较少的图，用临界矩阵要更合适，反之应该考虑邻接表。

图的遍历分为深度和官渡两种，各有优缺点，就像人在追求卓越时，是着重深度还是看重广度，总是很难说的清除。

图的应用一共分为三种：最小生成树，最短路径和有向无环图的应用

最小生成树，我们讲了两种算法：普里姆（prim）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。普里姆算法像是走一步看一步的思维方式，逐步生成最小生成树。而克鲁斯卡尔算法则是更有全局意识，直接从图中最短权值的边入手，找寻最后的答案。

最短路径的现实应用非常多，我们也介绍了两种算法。迪杰斯特拉（Dijkstra）算法更强调单源顶点查找路径的方式，比较符合我们正常的思路，容易理解原理，但算法代码相对复杂。而弗洛伊德（Floyd）算法则完全抛开了单点的局限思维方式，巧妙的应用矩阵的变换，用最清爽的代码实现了多顶点间最短路径求解的方案，原理理解有难度，但算法编写简洁。

有向无环图时常应用于工程规划中，对于整个工程或相同来说，我们一方面关心的是工程能否顺利进行的问题，通过拓扑排序的方式，我们可以有效的分析出一个有向图是否存在环，如果不存在，那他的拓扑序列是什么？另一方面关心的是整个工程完成所必须的最短时间问题，利用求关键路径的算法，可以得到最短完成工程的工期及关键的活动有哪些。