可持久化0-1Trie树

Posted 2020-12-01 nth-element

我跟可持久化数据结构杠上了 (QwQ) 。三天模拟赛考了两次可持久化数据结构（主席树、可持久化0-1Trie树），woc。

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目录：

• 个人理解
• 时空复杂度分析
• 例题及简析

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一、个人理解

可持久化0-1Trie树，是一种可以快速查询区间异或信息的高级数据结构。

它的主要思想和主席树相同，即保存每次插入操作的历史版本，来快速查询区间的异或信息。

0-1Trie树和平常写的strTrie树相同，都是维护前缀信息的数据结构。不同点只有一个，就是0-1Trie树是维护一个0-1串。可持久化0-1Trie树运用了贪心的思想，即将序列里的 (X) 按二进制为拆分，若当前 (X_i) （指 (X) 二进制拆分后的第 (i) 位）是1，我们就往0-1Trie树的0边走；反之就往0-1Trie树的1边走。

可持久化0-1Trie树与主席树相同，也需要动态开点。

注意：维护区间异或信息的不止可持久化0-1Trie树一种，还有线性基等。

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二、时空复杂度分析：

1. 时间复杂度：

   与普通0-1Trie树相同：(O(nlog n)) 。

   注：strTrie树的时间复杂度是 (O(n)) ，是一种典型的以时间换空间的算法。

2. 空间复杂度：
   与普通的0-1Trie树相同：(O(min{nlog |f(a_i)|,|f(a_i)|})) ( (|f(a_i)|) 为值域)。注意常数为 (2^5) （1<<5）。

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三、例题及简析

1. P4735 最大异或和

   Description:

   给定数列 ({a_n}) ,支持两种操作：

   • 在数列尾添加一个数 (x) ，数列长度变成 (n+1) ;

   • 给定闭区间 ([l,r]) 和一个数 (x) ，求：
     [ max_{i=l}^{r}left {left(igoplus_{j=i}^{n}a_j ight)igoplus x ight } ]

   Method:

   定义 (Xorsum_i) 为 (igoplus_{i=1}^{n}a_i) ,即前缀异或和。我们显然可以得到
   [ left(igoplus_{i=pos}^{n}a_i ight)igoplus x=Xorsum_{pos-1}igoplus Xorsum_n igoplus x ]

   注：(xigoplus x=0) , (x igoplus 0=x) 。

   我们发现 (Xorsum_nigoplus x) 是一个定值，我们只需要维护 (Xorsum_{pos-1}) 即可。

   考虑用可持久化0-1Trie树维护。与主席树思路相同 ，我们建立 (n+1) 个版本的0-1Trie树，查询的时候运用贪心的思路即可。

   可持久化线段树同样支持“前缀和”的思想，我们最后只需要在第 (r) 个版本的0-1Trie树上查找 (l) 位置即可。

   本题毒瘤卡常，本人人丑常数大，用了fread等各种卡常操作才通过。并且由于luogu评测姬的原因（大雾，已经通过的代码又会T掉woc。卡不过的话，开o2吧。

   Code:

   #include<bits/stdc++.h>
   #define Maxn 600010
   #define Maxdep 23
   #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
   char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
   inline void read(int &x)
   {
       int f=1;x=0;char s=getchar();
       while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
       while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
       x*=f;
   }
   int n,m;
   int sum[Maxn];
   struct trie
   {
       trie *chd[2];
       int symbl;
       trie()
       {
           for(int i=0;i<2;i++) chd[i]=NULL;
           symbl=0;
       }
   }*root[Maxn],tree[Maxn<<5],*tail;
   void Init(){tail=tree;} 
   void build(trie *&p,int dep)
   {
       p=new (tail++)trie();
       if(dep<0) return ;
       build(p->chd[0],dep-1);
   }
   void update(trie *&p,trie *flag,int dep,int i)
   {
       p=new (tail++)trie();
       if(flag) *p=*flag;
       if(dep<0) return (void)(p->symbl=i);
       int tmp=(sum[i]>>dep)&1;//判断是1还是0 
       if(!tmp) update(p->chd[0],flag?flag->chd[0]:NULL,dep-1,i);
       else update(p->chd[1],flag?flag->chd[1]:NULL,dep-1,i);
       if(p->chd[0]) p->symbl=std::max(p->symbl,p->chd[0]->symbl);
       if(p->chd[1]) p->symbl=std::max(p->symbl,p->chd[1]->symbl);
   }
   int query(trie *p,int x,int dep,int limit)
   {
       if(dep<0) return sum[p->symbl]^x;
       int tmp=(x>>dep)&1;
       if(p->chd[tmp^1]&&p->chd[tmp^1]->symbl>=limit) return query(p->chd[tmp^1],x,dep-1,limit);
       return query(p->chd[tmp],x,dep-1,limit);
   }
   signed main()
   {
       Init();
       read(n),read(m);
       build(root[0],Maxdep);
       for(int i=1,x;i<=n;i++)
       {
           read(x);
           sum[i]=sum[i-1]^x;
           update(root[i],root[i-1],Maxdep,i);
       } 
       for(int i=1;i<=m;i++)
       {
           char ch=getchar();
           while(ch!='A'&&ch!='Q') ch=getchar();
           if(ch=='A')
           {
               int x;
               read(x);
               n++;
               sum[n]=sum[n-1]^x;
               update(root[n],root[n-1],Maxdep,n); 
               continue;
           }   
           if(ch=='Q')
           {
               int l,r,x;
               read(l),read(r),read(x);
               int ans=query(root[r-1],sum[n]^x,Maxdep,l-1);
               printf("%d
   ",ans);
               continue;
           }
       }
       return 0;
   }