[数论系列] 素数篇

Posted 2020-12-01 light-house

本章介绍关于素数的一些数论，限于篇幅不给出证明，需要证明的朋友自行相关证明。

什么是素数？只能被自己和1整除的数就是素数。

利用这个性质我们很容易得到下面的素数判断方法。

bool isPrime(int x){
    if(x==1)return 0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)return 0;
    return 1;
}

这里解释一下为什么是i*i<=x，i*i<x转化一下就是i<=sqrt(x）。

想一想，如果我们枚举到sqrt(x)都没有找到可以被它整除的数，后面也就不可能有可以被它整除的数了，因为一个>sqrt(x)的数要是被x整除了，它的商肯定是<sqrt(x)的，而我们已经枚举过<=sqrt(x)的数了，里面没有，所以>sqrt(x)的约数也是不可能有的。

这种判断方法的时间复杂度是O(sqrt(n))的，空间复杂度是O(1)的。

再给出一个判断方法，这个方法的时间复杂度大概是O(sqrt(n)/3)的，空间复杂度也是O(1)。

bool isPrime(int x){
    if(x==1)return false;
    if(x==2||x==3)return true;
    if(x%6!=1&&x%6!=5)return false;
    for(int i=5;i*i<=x;i+=6)
        if(x%i==0||x%(i+2)==0)return false;
    return true;
}

证明被我吃了。

然后就是几种素数的筛法了。我们规定下文中讨论的[]为向下取整。

首先是著名的埃筛，Eratosthenes筛法。

埃筛基于这样一个想法：对于一个数x，它的倍数2x,3x,4x,5x...都不是质数。

于是，我们从2开始从小到大扫描每个数x，把它的倍数2x,3x,4x,...,[N/x]*x标记为合数。

当扫描到一个数时，若它未被标记为合数，则它就不能被2~x-1中的任何数整除，它就是质数。

但是我们会发现，埃筛会重复标记一个数。比如8，它会被2标记，还会被4标记，这样影响了效率。

于是我们考虑优化，对于每个数，从x^2开始把x^2,(x+1)*x,...,[N/x]*x标记为合数。

给出代码：

 

int comp[maxn],prime[maxn];
//合数标记(composite)，素数标记
void Eratothenes(int n){//筛到哪里for(int i=2;i<=n;i++){
        if(comp[i])continue;
        prime[i]=1;//i是质数
        for(int j=i;j<=n/i;j++)comp[i*j]=1;
    }
}

 

优化后的埃筛的时间复杂度是O(nloglogn)，接近线性，而且很好写，推荐熟记。

那有没有线性筛呢，有，但是个人认为，会埃筛就够了，没必要为了卡常写到线性。

想了解的可以自行百度。

接下来给出一些定理，还是一样，不证。

1. 唯一分解定理

若整数x>=2，则x一定可以以唯一的形式表示成若干个素数的乘积。

可以写作：x=p1^c1*p2^c2*p3^c3*...*pm^cm。

其中，ci均为正整数且pi均为素数，满足p1<p2<...<pm

2. 威尔逊定理

没啥用的定理，若p为素数，则(p-1)! ≡ 1(mod p)。

3. 威尔逊定理的逆定理

若对于某一正整数p，有(p-1)! ≡ -1(mod p)，则p为素数。

3. 费马定理

若p为素数，x为正整数，且x和p互质，则x^(p-1) ≡ 1(mod p)。

4. 费马小定理

若p为素数，则x^p ≡ x(mod p)。

 

还有一些东西：( ﹁ ﹁ ) ~→待填坑