P1734 最大约数和

Posted 2023-03-15 bujidao1128

P1734 最大约数和

最大约数和

题目描述

选取和不超过 S 的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。

输入格式

输入一个正整数 S。

输出格式

输出最大的约数之和。

样例 #1

样例输入 #1

11

样例输出 #1

9

提示

【样例说明】

取数字 4 和 6，可以得到最大值 (1+2)+(1+2+3)=9。

【数据规模】

对于 100 % 的数据，1 ≤ S ≤ 1000。

分析

典型的01背包
Q：01背包是什么？

A：背包问题中最简单的问题。有n件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

Q：01背包有什么特别之处？

A：给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有价值和体积两个属性。

Q：在求解01背包的过程中每个物品要考虑几种情况？

A：对于每个物品只需要考虑放与不放两种情况。

1.不放，则不需要处理。

2.放，由于不清楚之前放入的物品占据了多大的空间，需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。

由此可以得出，状态转移方程是：f[i][v]=maxf[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]

解释一下这个方程，f[i-1][v]指的是不放这件物品，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]指的是将第i件放入背包之后的总价值。

for (int i=2;i<=n;i++) //1的约数和为0，直接从2开始
    for (int j=i;j<=n;j++) 
        f[j]=max(f[j],f[j-i]+a[i]);
    

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=n;j>=i;j--)//01背包基本模板 
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-i]+a[i]);//i本身当做价钱，a[i]当做价值； 

回到题目本身，约数和用一个简单的函数就可以求出来了。

int yueshuhe(int m)
    int ans=0;
    for (int i=1;i<m;i++)
        if (m%i==0)  ans+=i;
    
    return ans;

int find(int x)

    int ans=0;//ans记录x的约数和（注意，不包括自己），还有，一定要将ans初始化为0，本蒟蒻因为没有初始化浪费了半个小时； 
    for(int i=1;i<x;i++)//不包括x本身 
        if(x%i==0)
            ans+=i;
    return ans;
//简单函数

注意，这里的ans一定要在函数里面初始化为0，如果定义成全局变量会叠加。嗯，会挂。不信你试试吧，我不拦你。
Q：状态转移方程是啥？能吃吗？（问着问着就饿了）

A：能吃。

END

提交答案

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int a[1001],dp[1001],b[1001];
int find(int x)

    int ans=0;//ans记录x的约数和（注意，不包括自己），还有，一定要将ans初始化为0，本蒟蒻因为没有初始化浪费了半个小时； 
    for(int i=1;i<x;i++)//不包括x本身 
        if(x%i==0)
            ans+=i;
    return ans;
//简单函数
int main()

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i]=find(i);//进行一步预处理，a[i]表示i的约数和（不包括自己，第3遍强调） 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=n;j>=i;j--)//01背包基本模板 
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-i]+a[i]);//i本身当做价钱，a[i]当做价值； 
    printf("%d ",dp[n]);//输出就好了