对极几何的理解和原理推导

Posted 2023-03-14 weihao-ysgs

特征点法前端

目录

• 特征点法前端
  • 1.0 特征点与特征点匹配
    • 1.1 特征点
    • 1.2 ORB
    • 1.3 特征匹配
  • 2.0 对极几何
    • 2.1 对极约束
    • 2.2 本质矩阵
    • 2.3 单应矩阵
  • 3.0 补充
    • 3.1 尺度不确定性
    • 3.2 纯旋转
    • 3.3 多余匹配

​ \\(\\quad\\)前端又称为视觉里程计 (VO)，它根据相邻图像间的信息来估计出相机的运动。估计值既可作为结果输出，也可以作为初始值提供给后端来进行优化。VO 的实现，按照是否提取图像特征，分为特征点法前端和直接法前端。

1.0 特征点与特征点匹配

​ \\(\\quad\\)如前所述，VO 的主要问题是根据图像信息来估计相机的运动。一般来说，我们首先从图像中选取出比较有代表性的点，然后根据这些点来估计相机的位姿（和点的定位）。在SLAM 中，这些点也称为路标。

1.1 特征点

​ \\(\\quad\\)影像在计算机中是以数值矩阵的方式来进行存储的。因此，单个像素也是一种特征。但我们希望所提取的特征能够在相机运动后保持稳定，即有一定程度的不变性。而单个像素往往收到光照、视角、形变等等因素的影响而变得不稳定。因此，在计算机视觉中，常常通过人工设计的特征提取器来获取具有鲁棒性的图像特征。

​ \\(\\quad\\)常见的图像特征就是角点。角点有易辨认，易提取的特点。但它也存在一些问题。比如距离的影响：从远处看是角点的地方，相机移近之后却不是了。还有旋转的影响：相机旋转后，不同影像上的同一角点可能就具有不同的外观。

​ \\(\\quad\\)为此，研究者们设计了许多能够提取具有足够鲁棒性特征提取算法，如 SIFT, SURE, ORB 等等。这些人工设计的特征点一般都具备如下性质：

1. 可重复性：相同的特征点可以在不同的影像上找到；
2. 可区别性：不同的特征点具有不同的表达；
3. 高效率：同一图像中，特征点的数量远小于像素的数量；
4. 本地性：提取的特征点仅仅和一小片图像区域相关。

​ \\(\\quad\\)一个特征点由关键点 (key-point) 和描述子 (descriptor) 两部分组成。关键点指的是该特征点在图像上的位置信息，有些还具有方向、大小等其他信息。描述子通常是一个向量，它按照某种人为设计的方式，描述了特征点周围像素点信息。描述子一个重要设计原则就是外观相似的特征具有相似的描述子。

​ \\(\\quad\\)由于SLAM 是一种实时应用，因此除了鲁棒性之外，算法的实时性也应该被考虑。实际上，特征点提取和匹配占据了SLAM 主要的时间消耗。因此选用合适的特征提取算法至关重要。如 SIFT 算子虽好，但计算量太大，时间消耗过多。虽然大部分的特征提取都具有良好的并行性，可以使用 GPU 来加速运算，但由此带来的成本提升也要纳入考量。而ORB算子是质量和效率之间比较好的折中方案，常被用在目前的视觉 SLAM 方案中。

1.2 ORB

​ \\(\\quad\\)网上关于 ORB 算子的资料很多，相关论文也可以直接获取。这里仅仅进行一个简要的叙述。

​ \\(\\quad\\)ORB 特征一样由关键点和描述子两部分组成。它的关键点为 Oriented FAST，是 FAST 算子的一种改进；描述子则是BRIEF。

​ \\(\\quad\\)FAST 算子很高效，但不具备尺度和旋转不变性。通过构建影像金字塔，在不同尺度的影像上提取特征来增加尺度不变性。然后引入像素重心来确定特征点的方向，引入旋转不变性。中间还可以使用Harris 角点滤波来提取出N 个最有可能的角点。

​ 传统的BRIEF 描述子一样不具备旋转不变性，同样通过像素重心所确定的特征点方向来作为描述子点方向，得到steer BRIEF。最后，为了得到更好的两两比较模式，利用一个角点数据集和贪心算法得到一个具有高方差、低相关的模式，用以构建合适的描述子，称为 rBRIEF。

​ 原论文ORB 在此。

1.3 特征匹配

​ \\(\\quad\\)完成特征提取后，就可以进行特征匹配了。特征匹配解决了SLAM 中的数据关联问题，即确定了当前看到的路标和之前看到的路标之间的对应关系。

​ \\(\\quad\\)最简单的特征匹配方法就是暴力匹配 (brute-force matching)：计算待匹配特征点与其他特征点之间的距离，然后按距离排序，选取距离最近的特征点作为匹配点。在这里，描述子间的距离表示了两个特征点之间的相似程度，有欧式距离，汉明距离等等。对于特征点数量巨大的情况，快速近似最邻近 (FLANN) 算法会更为高效。

​ \\(\\quad\\)接下来，我们希望根据匹配的特征点对来估计相机的运动。根据相机原理或所有的数据等不同，有三种情况：

1. 当使用单目相机时，我们只知道二维的像素坐标，因此问题是根据两组匹配的 \\(2D\\) 点来估计相机运动。该问题用对极几何来解决。
2. 当相机为双目或为RGB-D 相机时，由于我们可以获得深度信息，问题就是估计两组 \\(3D\\) 点间的运动。该问题用$ ICP $ 来解决。
3. 如果有 \\(3D\\) 点云及其对应像素点的 \\(2D\\) 坐标，也能顾及相机运动。该问题通过 $PnP $求解。

2.0 对极几何

2.1 对极约束

​ \\(\\quad\\)上图展示了一对匹配好的特征点。我们希望求取这两帧之间的运动。设两个相机关心分别为 \\(O_1\\) 和 \\(O_2\\)，第一帧到第二帧到运动为 \\(R，t\\)。点 $p_1 (x_1) $ 和点 $p_2 (x_2) $ 是同一个空间点在两个成像平面上的投影。连线 \\(O_1 \\ p_1\\) 和 \\(O_2 \\ p_2\\) 在三维空间中相交于点 \\(P\\)。这时，\\(O_1, O_2\\) 和 \\(P\\) 三点确定一个平面，称为极平面 (epipolar plane)。\\(O_1, O_2\\) 连线与像平面 $I_1, I_2 $ 的交点分别为 \\(e_1, e_2\\)。点 \\(e_1, e_2\\) 称为极点 (epipoles)，是相机光心在另一幅影像上的投影。注意到这里 \\(e_1, e_2\\) 都位于像平面内。有时候它们有可能会落在成像平面之外。\\(O_1, O_2\\) 称为基线 (baseline)。而极平面与两个像平面之间的交线 \\(l_1, l_2\\) 为极线 (epipolar line)，它们分别是射线 \\(O_2 \\ p_2\\) 和 \\(O_1 \\ p_1\\) 在对方影像上的投影。

​ \\(\\quad\\)从几何上来看，射线 \\(O_1 \\ p_1\\) 是像素点 \\(p_1\\) 所对应的物方点可能出现的位置：该射线上的所有点都有可能投影到点 \\(p_1\\) 上。射线 \\(O_2 \\ p_2\\) 是像素点 \\(p_2\\) 所对应的物方点可能出现的位置。如果匹配正确的话，像素点 \\(p_1, p_2\\) 对应于同一个物方点。这两条射线的交点就是就是点 \\(P\\) 的空间位置。如果没有特征匹配，我们就必须在极线 \\(l_2\\) 上搜索 \\(p_1\\) 的匹配点。

​ 现在我们从代数的角度上看，在第一帧的相机坐标系下，点 \\(P\\) 的空间位置为：

\\[\\mathbfP=[X, Y, Z]^T \\]

​ 根据针孔相机模型，不考虑畸变，两个像素点 \\(p_1\\), \\(p_2\\) 点像素（\\(u,v\\)）坐标分别为：

\\[s_1\\mathbfp_1=\\mathbfK\\mathbfP,\\ s_2\\mathbfp_2=\\mathbfK(\\mathbfR\\mathbfP+\\mathbft) \\]

\\(s_1p_1\\)和 \\(p_1\\)成投影关系，他们在齐次坐标系下是相等的，我们称这种关系为尺度意义下相等，记作：

\\[sp\\simeq p \\]

在使用齐次坐标的时候，一个向量将等于它自身乘以一个非零的常数，这通常用于表达一个投影关系，\\(s_1p_1=p_1\\)，这里可以参考一下14讲中P100页关于归一化平面和归一化坐标的定义：

• 归一化坐标可以看作相机前方 \\(z=1\\) 处的青面上的一个点，这个 \\(z=1\\) 的平面上的点也叫做归一化平面。归一化坐标再左乘内参即可得到像素坐标，所以我们可以将像素坐标 \\((u,v)\\) 看作是归一化平面上的点进行量化测量的结果
  \\[\\mathbfRP_w +t=\\underbrace[X,Y,Z]^T _相机坐标系 \\rightarrow \\underbrace[\\fracXZ,\\frac Y Z ,1]_归一化坐标系 \\]
  我们再来看一下针孔相机的投影模型:
  \\[\\beginpmatrix u\\\\ v\\\\ 1 \\endpmatrix = \\frac1Z \\beginpmatrix f_x& 0 &c_x \\\\ f_y& 0 &c_y \\\\ 0 &0 &1 \\endpmatrix\\beginpmatrix X\\\\ Y \\\\ Z \\endpmatrix \\overset\\mathrmdef= \\frac1ZKP \\]
  针孔相机的成像模型中本身对于\\(Z\\)就是未知的无约束的。

那么上述的两个投影关系可以写成:

\\[p_1 \\simeq KP,p_2\\simeq K(RP+t) \\]

这里，\\(K\\) 为相机内参矩阵。如果使用齐次坐标，则前面的系数 $s_1, s_2 $可以省略。设：

\\[\\mathbfx_1=\\mathbfK^-1\\mathbfp_1,\\ \\mathbfx_2=\\mathbfK^-1\\mathbfp_2 \\]

​ 这里，\\(x_1\\) 和 \\(x_2\\) 分别为两个像素点在各自相机坐标系下的归一化平面坐标。将之代入上式（将 \\(p_1,p_2\\) 分别带入上面的式子）可得：

\\[\\mathbfx_2 = \\mathbfR\\mathbfx_1+\\mathbft \\]

这里本身笔者并不理解如何去除尺度因子之后仍然成立，于是接着带上尺度因子推倒了一遍，发现结果是一样的，也就是说尺度无法影响对极约束，当然求解出来的结果中的\\(t\\) 当然不是真实的尺度了，这里放出推倒过程：

将上式两边同时左乘\\(\\mathbft^\\wedge\\)，这相当于两侧同时和 $t $ 做外积：

\\[\\mathbft^\\wedge\\mathbfx_2=\\mathbft^\\wedge\\mathbfR\\mathbfx_1 \\]

​ 再将两侧同时左乘\\(\\mathbfx^T_2\\)：

\\[\\mathbfx^T_2\\mathbft^\\wedge\\mathbfx_2=\\mathbfx^T_2\\mathbft^\\wedge\\mathbfR\\mathbfx_1 \\]

​ 注意到\\(\\mathbft^\\wedge\\mathbfx_2\\) 是一个垂直于二者的向量，因此它和\\(\\mathbfx_2\\) 的内积为0。由此可得：

\\[\\mathbfx^T_2\\mathbft^\\wedge\\mathbfR\\mathbfx_1=0 \\]

​ 如果我们代入 $p_1, p_2 $ 则可得：

\\[\\mathbfp^T_2\\mathbfK^-T\\mathbft^\\wedge\\mathbfR\\mathbfK^-1\\mathbfp_1=0 \\]

​ 这两个式子称为对极约束。它的几何意义为 $O_1, O_2 $和 \\(\\mathbfP\\) 三点共面。这两个式子的中间部分分别称为本质矩阵 (essential matrix) \\(\\mathbfE\\) 和基础矩阵 (fundamental matrix) \\(\\mathbfF\\)。

\\[\\mathbfE = \\mathbft^\\wedge\\mathbfR \\\\ \\mathbfF =\\mathbfK^-T\\mathbft^\\wedge\\mathbfR\\mathbfK^-1 \\\\ \\mathbfx_2^T\\mathbfE\\mathbfx_1=\\mathbfp_2^T\\mathbfF\\mathbfp_1=0 \\]

​ \\(\\quad\\)对极约束给出了两个匹配点的空间位置关系。\\(\\mathbfE\\) 和 \\(\\mathbfF\\) 之间只差了相机内参。在 SLAM 中，相机内参一般都是已知的（也可以通过相机标定获得），所以实践中常常使用形式更简单的 \\(\\mathbfE\\)。注意到 \\(\\mathbfE\\) 完全由旋转矩阵 \\(\\mathbfR\\) 和平移向量 \\(\\mathbft\\) 组成，由此我们也希望能够通过 \\(E\\) 来求得 \\(\\mathbfR\\), \\(\\mathbft\\)。因此，相机位姿的估计就可以描述为：

1. 通过匹配点求出 \\(\\mathbfE\\)；
2. 根据E 求取 \\(\\mathbfR\\), \\(\\mathbft\\)。

​ 实际情况自然会比这个复杂。下面我们就来了解下这个求解过程。

2.2 本质矩阵

​ 关于本大节（对极几何）的更详细的讲解和推导推荐看书 An Invitation to 3-D vision 的第五章。这章也正好是sample chapters 之一，可以免费阅读。地址在此Reconstruction from Two Calibrated Views .

​ 本质矩阵 \\(\\mathbfE = \\mathbft^\\wedge \\mathbfR\\) 是一个\\(3 * 3\\) 大小的矩阵，共 \\(9\\) 个未知数。它包含了一个相对位置信息 \\(t\\) 和一个旋转矩阵 \\(R\\)。所有本质矩阵也构成一个集合，具有以下的性质：

• 本质矩阵是由对极约束定义的。由上可知对极约束是一个等式为零的约束，所以对 \\(E\\) 乘以任意非零常数后，对极约束仍然满足。说明 \\(E\\) 在不同尺度下是等价的。
• 根据\\(\\mathbfE = \\mathbft^\\wedge \\mathbfR\\)，本质矩阵 \\(E\\) 的奇异值必定是\\([\\sigma,\\sigma,0]^T\\) 的形式。这称为本质矩阵的内在性质。想要详细的证明还请看上面的章样。
• 平易和旋转各自有 $3 \\(个自由度，所以\\)\\mathbft^\\wedge \\mathbfR$ 一共只有 \\(6\\) 个自由度。考虑到尺度等价性，本质矩阵 \\(E\\) 实际上只有\\(5\\)个自由度。

​ \\(\\quad\\)既然 \\(E\\) 只有 \\(5\\) 个自由度，说明我们可以只用 \\(5\\) 对点来对其进行求解。但 \\(E\\) 的内在性质是非线性的，只用 \\(5\\) 对点求解会更麻烦些。考虑 \\(E\\) 的尺度等价性，可以使用 \\(8\\) 对点来求解 \\(E\\)。这就是八点法。

​ \\(\\quad\\)考虑一对匹配点，它们的归一化坐标为\\(\\mathbfx_1 = [u_1, v_1,1]^T\\) 和\\(\\mathbfx_2 = [u_2, v_2,1]^T\\)。根据对极约束则有：

\\[\\beginpmatrix u_1, v_1, 1 \\endpmatrix \\beginpmatrix e_1 & e_2 & e_3 \\\\ e_4 & e_5 & e_6 \\\\ e_7 & e_8 & e_9 \\\\ \\endpmatrix \\beginpmatrix u_2 \\\\ v_2 \\\\ 1 \\endpmatrix = 0 \\]

​ 把矩阵 \\(E\\) 展开，写成向量的形式 (stacked version)：

\\[\\mathbfe =[ e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7, e_8, e_9]^T \\]

​ 对极约束就可以写成与 \\(e\\) 有关的线形形式：

\\[[u_1u_2, u_1 v_2, u_1, v_1 u_2, v_1 v_2, v_1, u_2, v_2, 1] \\mathbfe = 0 \\]

​ \\(8\\)个特征点对就构成了一个线性方程组。设系数矩阵为 \\(A\\)，它是一个 \\(8 * 9\\) 大小的矩阵，\\(e\\) 位于该矩阵的零空间 (Null Space) 中。如果矩阵 \\(A\\) 满足秩为 \\(8\\)（满秩）的条件（\\(8\\) 个点不共面），那么其零空间维度为 \\(1\\)，即 \\(e\\) 构成一条线，这与 \\(e\\) 的尺度等价性是一致的。

​ 求解出 \\(E\\) 后，问题就变成了如何从 \\(E\\) 中恢复出相机的运动 \\(R，t\\)。该过程可以由奇异值分解 (SVD) 得到。且对于任意一个本质矩阵 \\(E\\)，有两组相对运动 \\((R, t)\\) 与之对应。同样地，详细证明请看上面的书籍章样。假设 \\(E\\) 的SVD 分解为：

\\[\\mathbfE = \\mathbfU \\mathbf\\Sigma \\mathbfV^T \\]

其中，$U, V $ 是正交阵，\\(\\mathbf\\Sigma\\) 是奇异值矩阵。与 \\(E\\) 对应的两组 \\((R, t)\\) 分别为：

\\[\\beginalign \\mathbft_1^\\wedge = \\mathbfU \\mathbfR_z(\\frac\\pi2) \\mathbf\\Sigma \\mathbfU^T, & \\ \\mathbfR_1 = \\mathbfU \\mathbfR^T_z(\\frac\\pi2) \\mathbfV^T \\\\ \\mathbft_2^\\wedge = \\mathbfU \\mathbfR_z(-\\frac\\pi2) \\mathbf\\Sigma \\mathbfU^T, & \\ \\mathbfR_2 = \\mathbfU \\mathbfR^T_z(-\\frac\\pi2) \\mathbfV^T \\\\ \\endalign \\]

​ 其中，\\(\\mathbfR_z(\\frac\\pi2)\\) 表示沿 \\(z\\) 轴旋转 \\(90\\) 度的旋转矩阵。对比上面两个式子可以发现，这两组解其实是以参考帧为中心，绕 \\(z\\) 轴呈 \\(180\\) 度旋转对称的两组解，如下图所示（来自上面推荐的书籍）：

​ \\(\\quad\\)同时，由于 \\(E\\) 可以取任意符号，即 \\(-E\\) 和 \\(E\\) 是等价的，所以对任意一个 \\(t\\) 取负号又取得一个符合条件的解，所以一共有四组符合条件的解。

​ \\(\\quad\\)我们可以将任意一对特征点代入所取得的\\(4\\)组解中，检测该点在两个相机下的深度值。显然物方特征点应该位于两个相机的前方，取两个深度值都为正的解即是正确的解。

​ \\(\\quad\\)最后，使用带有噪声的数据利用线形方程组求解得到的E 可能并不是一个”正确“的解，即奇异值矩阵并不满足 \\(E\\) 的内在性质 \\(\\mathbf\\Sigma = diag(\\sigma, \\sigma, 0)\\) 而是\\(\\mathbf\\Sigma = diag(\\lambda_1, \\lambda_2, \\lambda_3)\\)，为从大到小的排序。通常的做法是取\\(\\mathbf\\Sigma = diag(\\frac\\lambda_1 + \\lambda_22,\\ \\frac\\lambda_1 + \\lambda_22, 0)\\) 或者直接取 \\((1, 1, 0)\\)。

2.3 单应矩阵

​ \\(\\quad\\)前面我们提到，利用八点法来求解本质矩阵的一个前提是系数矩阵满秩，这也意味着八组特征点不能（近似）落在同一个平面上。但在一些情况中，如无人机俯拍影像，这个假设就不成立了。此时，可以利用单应矩阵 (Homography) \\(H\\) 来求解相机运动。

​ \\(\\quad\\)考虑图像 \\(I1\\) 和 \\(I2\\) 有匹配好的特征点对 \\(p_1\\) 和 \\(p_2\\)，这些特征点所对应的物方点 \\(P\\) 落在同一平面上。以第一张影像的相机坐标系为惯性系，该平面的法向量为\\(n\\)，到惯性系的原点的距离为 \\(d\\)，则该平面可以表示为：

\\[\\mathbfn^T \\mathbfP=d \\]

​ 整理得：

\\[\\frac\\mathbfn^T \\mathbfPd = 1 \\]

​ 影像 \\(I2\\) 相对于影像 \\(I1\\) 的运动为$ (R, t)$，则有：

\\[\\beginalign \\mathbfP_2 & = \\mathbfR \\mathbfP_1 + \\mathbft \\\\ & = \\mathbfR \\mathbfP_1 + \\mathbft \\cdot \\frac\\mathbfn^T \\mathbfP_1d \\\\ & = (\\mathbfR + \\frac\\mathbft \\mathbfn^Td) \\cdot \\mathbfP_1 \\endalign \\]

​ \\(\\quad\\)这样，我们就得到了描述两个相机坐标系下同一物方点的转换关系，把中间括号内的部分抽取出来就得到了单应矩阵 \\(H\\)。当然，也可以在括号两端各加上相机矩阵 \\(K\\)，得到\\(\\mathbfK (\\mathbfR + \\frac\\mathbft \\mathbfn^Td) \\mathbfK^-1\\)，这是高博书中的表示方式，描述了两个图像坐标之间的转换关系。

​ \\(\\quad\\)单应矩阵包含了相机运动信息 \\((R, t)\\) 和对应平面的参数$ (n, d)$，同样是一个\\(3 * 3\\) 大小的矩阵，同样可以先通过匹配的特征点对计算 \\(H\\) 然后将之分解得到平移和旋转。值得注意的是，若相机运动为纯旋转，情形仍和单应矩阵相同，因为此时\\(\\mathbfX_2 = \\mathbfR \\mathbfX_1\\) 或\\(\\mathbfx_1 = \\mathbfK \\mathbfR \\mathbfK^-1 \\mathbfx_2\\)。可见，旋转矩阵也是单应矩阵的一种。

​ 由上可得：

\\[\\beginpmatrix u_2 \\\\ v_2 \\\\ 1 \\endpmatrix = \\beginpmatrix h_1 & h_2 & h_3 \\\\ h_4 & h_5 & h_6 \\\\ h_7 & h_8 & h_9 \\\\ \\endpmatrix \\beginpmatrix u_1 \\\\ v_1 \\\\ 1 \\endpmatrix \\]

​ 需要注意的是这里的等号是在一个非零因子下成立的（齐次坐标）。实际处理中常常乘以一个非零因子使得 \\(h_9 = 1\\)。然后去掉这个非零因子可得：

\\[u_2 = \\frach_1 u_1 + h_2 v_1 + h_3h_7 u_1 + h_8 v_1 + h_9 \\\\ v_2 = \\frach_4 u_1 + h_5 v_1 + h_6h_7 u_1 + h_8 v_1 + h_9 \\]

​ 整理得：

\\[h_1 u_1 + h_2 v_1 + h_3 - h_7 u_1 u_2 - h_8 v_1 u_2 = u_2 \\\\ h_4 u_1 + h_5 v_1 + h_6 - h_7 u_1 v_2 - h_8 v_1 v_2 = v_2 \\]

​ 如此，一组匹配点可以构造出两个约束（三组约束中只有两组线性独立）。于是，自由度为 \\(8\\) 的单应矩阵可以由4对特征点算出（不存在三点共线的情况）。 这种将 \\(H\\) 转化为向量形式来直接求解的方式称为直接线性变换 (Direct Linear Transform, DLT)。

和本质矩阵的分解类似，分解单应矩阵H 也会得到4组解（如下所示）。这里的推导比较复杂（我也没看得很明白），还请参看前面的书籍章样。利用物方点的深度值为正（位于相机前方）的特性，可以排除两组解，剩下的两组解则需通过其他先验信息进行验证。

3.0 补充

3.1 尺度不确定性

​ \\(\\quad\\)前面提到，\\(E\\) 具有尺度等价性，由它分解得到的 \\((R, t)\\) 也具有一个尺度等价性，但由于旋转矩阵 \\(R\\) 自身带有约束（行列式为 \\(1\\) 等），所以只有 \\(t\\) 具有一个尺度。换言之，分解 \\(E\\) 得到的其实是 \\(qt\\), q 为一个分零因子。而在通过分解 \\(H\\) 得到 \\((R, t)\\) 的时候，由于平面到坐标原点的距离未知，得到的 \\(t\\) 同样具有一个尺度等价性。在这种情况下，通常是将 \\(t\\) 进行归一化处理，即令其模长为 \\(1\\).

​ \\(\\quad\\)对 \\(t\\) 长度的归一化直接导致了单目视觉的尺度不确定性。如果对轨迹和地图同时缩放任意倍数，我们得到的图像仍然是一样的。而对两张图像间的平移 \\(t\\) 进行归一化相当于固定尺度。以 \\(t\\) 的长度作为为单位长度，计算相机轨迹和特征点的三维位置。这被称为单目 slam 的初始化。初始化后，就可以利用 3D - 2D 来计算相机运动了。进行初始化的两张图像必须有一定程度的平移，而后都将以此步的平移为单位。

3.2 纯旋转

​ \\(\\quad\\)在只有纯旋转的情况下，我们可以通过 \\(H\\) 来求取旋转。此时由于 \\(t = 0\\)，\\(E\\) 也为 \\(0\\)。但此时我们无法利用三角测量来计算特征点的空间位置（不构成对极几何）。所以，单目初始化不能只有纯旋转，必须有一定程度的平移。

3.3 多余匹配

​ 求解 \\(E\\) 和 \\(H\\) 都只需要用到少量的特征点对。而通过特征提取和匹配，往往能获得远超需要的特征点对。拥有这么多匹配点，在求解 \\(E\\) 或 \\(H\\) 的过程中当然可以构造一个最小二乘问题。但是，在可能存在误匹配的情况下，随机采样一致性 (RANSAC) 更受青睐。