22.3.28 t2

Posted 2022-03-31 oisdoaiu

tag：推柿子，下降幂，生成函数

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根据递推式可以写出答案的封闭形式

\\[\\frac1(1-x-x^2)^k \\]

答案就是这个多项式的第 \\(n\\) 项系数。

\\[ans=[x^n]\\frac1(1-x-x^2)^k \\]

\\[ans=[x^n]\\frac1(1-\\lambda_1x)^k\\frac1(1-\\lambda_2x)^k \\]

注意到

\\[[x^n]\\frac1(1-ax)^k=\\binomn+k-1k-1a^k \\]

所以可以化为

\\[ans=\\sum_i=0^n\\binomi+k-1k-1\\binomn-i+k-1k-1\\lambda_1^i\\lambda_2^n-i \\]

设 \\(K=k-1, q=\\frac\\lambda_1\\lambda_2\\)

\\[ans=\\lambda_2^n\\sum_i=0^n\\binom i+KK\\binom n-i+KKq^i \\]

因为 \\(\\binom n+mm=\\frac(n+m)^\\underline mm!\\)

\\[ans=\\frac\\lambda_2^n(K!)^2\\sum_i=0^n(i+K)^\\underline K(n-i+K)^\\underline Kq^i \\]

因为 \\(i^\\underline K=(-1)^K(K-i-1)^\\underline K\\)

\\[ans=(-1)^K\\frac\\lambda_2^n(K!)^2\\sum_i=0^n(i+K)^\\underline K(i-n-1)^\\underline Kq^i \\]

前面的可以当常数处理，令 \\(ans=(-1)^K\\frac\\lambda_2^n(K!)^2sum\\)

\\[sum=\\sum_i=0^n(i+K)^\\underline K(i-n-1)^\\underline Kq^i \\]

\\[sum=\\sum_i=0^n(i+K)^\\underline K\\sum_j=0^Ki^\\underline j(-n-1)^\\underline K-jq^i \\]

\\[sum=\\sum_j=0^K(-n-1)^\\underlineK-j\\sum_i=0^n(i+K)^\\underline Ki^\\underline jq^i \\]

\\[sum=\\sum_j=0^K(-n-1)^\\underlineK-j\\sum_i=0^n(i+K)^\\underlineK+jq^i \\]

设后面那个式子为 \\(F(K+j)\\)

\\[F(p)=\\sum_i=0^n(i+K)^\\underline pq^i \\]

因为 \\(a^\\underline n=(a-1)^\\underline n+n(a-1)^\\underlinen-1\\)

\\[F(p)=\\sum_i=0^n(i+K-1)^\\underline pq^i+p(i+K-1)^\\underlinep-1q^i \\]

\\[\\sum_i=0^n(i+K-1)^\\underline pq^i=q\\sum_i=1^n(i+K-1)^\\underline pq^i-1+(K-1)^\\underline p \\]

\\[=q\\sum_i=0^n-1(i+K)^\\underline pq^i+(K-1)^\\underline p \\]

\\[=q(F(p)-(n+K)^\\underline pq^n)+(K-1)^\\underline p \\]

同理转化右半边

\\[F(p)=q(F(p)-(n+K)^\\underline pq^n)+(K-1)^\\underline p+pq(F(p-1)-(n+K)^\\underline p-1q^n)+p(K-1)^\\underlineP-1 \\]

然后就可以从 \\(F(p-1)\\) 递推到 \\(F(p)\\) 了，然后求出答案

\\[ans=(-1)^K\\frac\\lambda_2^n(K!)^2\\sum_j=0^K(-n-1)^\\underlineK-jF(K+j) \\]

由于出题人很毒瘤给了巨大 \\(n\\)， 所以式子中的下降幂和幂都要带着走。