那些年忽略的知识：时间复杂度和空间复杂度详解

Posted 2021-12-10 一只努力学习的程序猿

概述

尴尬，学妹问我“冒泡排序、二分查找、希尔排序、快速排序方法”算法的『时间复杂度』，我只能使用百度查询答案进行了回答，但这不符合我的人设，我必须要弄懂这个东西。

作为一个「不称职的攻城狮」，对复杂度的概念是很模糊的，更不要说去计算复杂度了。

但是在开发中对于代码快的执行，做到“提高代码执行率、降低内存占用率”，巧了，这和我百度了解到的『复杂度』相似，然后查询了相关资料，进行一个复习归纳。

简单来说，就是同一个功能：

• 别人写出来运行，内存占用100M，运行时间需要1秒；
• 自己写出来运行，内存占用500M，运行时间需要5秒。

这你能忍？但是在代码开发中是没办法计算内存占用和运行时间情况的，怎么样才能预估代码块达到了较优呢？而且在不同的设备上执行的效果也不同，

比如你新买的手机和用了5年的手机，打开同一个软件所需要的时间肯定是不同的。

但是我们基本的代码块运行次数是可以计算的，这就是我们今天的主角『复杂度』。

PS：衡量不同算法之间的优劣就要用到时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度

什么是时间复杂度？举个例子：

public string attack(int n)
{
   for (int i = 0; i < n; i++)
   {
      Console.WriteLine("被攻击");
   }
   return "快来救我";
}

上面代码执行如下：

i = 0 　　　　　　　　　　　　   : 执行 1 次
i <  n 　　　　　　　　　　　    : 执行 n+1 次
i++ 　　　　　　　　　　　　　   : 执行 n+1 次
Console.WriteLine("被攻击");  : 执行 n 次
return "快来救我"　　　　　　   : 执行 1 次

这个方法的总执行次数就是 3n + 4 次，

但是开发过程中不可能都这样去数，所以根据代码执行时间推导过程就有一个规律，这就是所有代码执行时间 T(n)和代码的执行次数 f(n) ，这个是成正比的，而这个规律有一个公式（大欧表示法）：

T(n) = O(f(n))

n    是输入数据的大小或者输入数据的数量  
T(n) 表示一段代码的总执行时间   
f(n) 表示一段代码的总执行次数   
O    表示代码的执行时间 T(n) 和 执行次数f(n) 成正比

套用公式可以得到上面方法的复杂度就是：O(3n+4)，简化为O(n)。

为什么可以简化为O(n)呢，我们看下简化过程。

• 如果只是常数直接估算为1，O(3) 的时间复杂度就是 O(1)，不是说只执行了1次，而是对常量级时间复杂度的一种表示法。一般情况下，只要算法里没有循环和递归，就算有上万行代码，时间复杂度也是O(1)
• O(3n+4) 里常数4对于总执行次数的几乎没有影响，直接忽略不计，系数 3 影响也不大，因为3n和n都是一个量级的，所以作为系数的常数3也估算为1或者可以理解为去掉系数，所以 O(3n+4) 的时间复杂度为 O(n)
• 如果是多项式，只需要保留n的最高次项，O( 666n³ + 666n² + n )，这个复杂度里面的最高次项是n的3次方。因为随着n的增大，后面的项的增长远远不及n的最高次项大，所以低于这个次项的直接忽略不计，常数也忽略不计，简化后的时间复杂度为 O(n³)

是不是很简单，我们看下常用的时间复杂度。

1、常数阶 O(1)

通过上面的简化过程知道，一般情况下，只要算法里没有循环和递归，就算有上万行代码，时间复杂度也是 O(1)，因为它的执行次数不会随着任何一个变量的增大而变长，比如下面这样

public string attack(int n)
{
    int power = 100;
    int speed = 65;
    Console.WriteLine("力量是:", power);
    Console.WriteLine("速度是:", speed);

    if (power == 200)
        Console.WriteLine("快来救我");

    .....

    return "我没事，不用担心";
}

2、线性阶 O(n)

只有一层循环或者递归等，时间复杂度就是 O(n)，这样消耗时间随着N变化而变化，比如下面这种

public string attack(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        Console.WriteLine("我没事");
    }
    return "我很好";
}
public string runaway(int n)
{
    while(--n>0)
        Console.WriteLine("跑跑跑");
    return "我跑的很快";
}
public string gameover(int n)
{
    Console.WriteLine("hhh");
    if (--n > 0)
    {
        Console.WriteLine(gameover(n));
    }
    return "结束";
}

3、平方阶 O(n²)

就是双重for循环，如果外层的是n，内层的是m，那么复杂度就是O(m*n)，比如下面这种

public string attack(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            Console.WriteLine("我没事");
        }
    }
    return "我很好";
}

还记得上面的简化不？这样的，总执行次数为 n + n²，如果是多项式，取最高次项，所以这个时间复杂度也是 O(n²)

public string attack(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        Console.WriteLine("我没事");
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            Console.WriteLine("我没事");
        }
    }
    return "我很好";
}

4、对数阶 O(logN)

下面的循环就按i*2何时=N，就是2的多少次方是N，即log2^N，读作以2为底N的对数。对数公式[1] log不了解的可以点击查看一下，这里不做过多讲解。

int i = 1;
while (i < n)
    i = i * 2;

5、线性对数阶 O(nlogN)

就是for循环套while，如下nlog2^N，读作n倍以2为底N的对数。。对数公式[1] log不了解的可以点击查看一下，这里不做过多讲解。

for (int j = 0; j < n; j++)
{
    int i = 1;
    while (i < n)
        i = i * 2;
}

6、更多...

其他还有一些时间复杂度的运用，下面由快到慢排列了一下：

复杂度	名称
O(1)	常数复杂度
O(logn)	对数复杂度
O(n)	线性时间复杂度
O(nlogn)	线性对数复杂度
O(n²)	平方
O(n³)	立方
O(2^n)	指数，一点数据量就卡的不行
O(n!)	阶乘，就更慢了

 

 这些时间复杂度有什么区别呢，看张图

 

 

 

随着数据量或者 n 的增大，时间复杂度也随之增加，也就是执行时间的增加，会越来越慢，越来越卡。

总的来说时间复杂度就是执行时间增长的趋势，那么空间复杂度就是存储空间增长的趋势。

空间复杂度

空间复杂度就是算法需要多少内存，占用了多少空间。

常用的空间复杂度有 O(1)、O(n)、O(n²)。

O(1) 就是算法执行临时空间不会随着N发生变化 都算成一个常量，如下。

public string attack(int n)
{
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        j = i;
        j++;
    }
    return "我很好";
}

O(n)就是一开始就开辟的内存，不会在改变，如下new出来了N个，但是N下面循环并没有再开临时变量

public string attack(int n)
{
    int[] m = new int[n];
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        j = i;
        j++;
    }
    return "我很好";
}

『空间复杂度』和『时间复杂度』判断标准差不多，主要是看开了多少个临时变量，是否跟N有一定的线性关系。

这都是一些简单的，如果是复杂的怎么计算呢， 下面都计算时间复杂度为例子：

1. T(n) = n + 29　　　　 一般说是O(n)因为常数项影响函数增长很小
2. T(n) = n^3 + n^2 + 29 一般说为O(n3)，n3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的，所以有了高次项可以忽略低次项
3. T(n) = 3n^3 　　         一般说为O(n^3)因为阶数比乘数影响增长速度最显著我们通常忽略

总结

重新梳理了一遍以后，现在写代码眼里浮现的都是一堆O(1)、O(n)、O(n²)、logN，感觉要疯了。

参考资料

1.百度百科：对数公式

2.如何理解时间复杂度和空间复杂度：https://www.cnblogs.com/magicg/p/15178750.html

3.C#算法的时间复杂度和空间复杂度：https://blog.csdn.net/q_17600689511/article/details/100189543

4.c#算法时间复杂度 面试必看：https://blog.csdn.net/weixin_44370124/article/details/119321322

 

 

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