ABC306G 与 CF1835D 的思考

Posted 2023-06-19 Zesty_Fox

两道题似乎都涉及了一个经典模型：

在一张有向图上，给定起点 \\(s\\) 和终点 \\(t\\)，询问 \\(s\\) 到 \\(t\\) 与 \\(t\\) 到 \\(s\\) 是否均存在一条长度 \\(=L\\) 的路径（\\(L\\) 是一个 \\(\\ge n^3\\) 的数）。

首先 \\(s\\) 与 \\(t\\) 必须在同一个 SCC 内（考场上没看到互相可达直接以为不可做）。

考虑取出这个 SCC 的任意一颗生成树，则有定理：

设所有非树边 \\((u,v)\\) 的 \\(|dep_u+1-dep_v|\\) 的 \\(\\gcd\\) 为 \\(g\\)，则 \\(\\forall x \\in \\textSCC,\\exists L, \\mathrms.t. \\forall l \\ge L \\and g|l\\)，存在包含 \\(x\\)、长为 \\(l\\) 的环。

证明：设当前所有包含 \\(x\\) 的环的 \\(\\gcd\\) 为 \\(g\\)。

• 若所有 \\(dep_u+1 \\equiv dep_v \\pmodg\\)，显然从 \\(x\\) 出发，每走一步在模 \\(g\\) 意义下深度一定 \\(+1\\)，回到 \\(x\\) 时肯定长度为 \\(g\\) 的倍数。
• 若存在 \\(dep_u+1 \\not\\equiv dep_v \\pmodg\\)，则一定存在长度不是 \\(g\\) 的倍数的环。根据裴蜀定理，\\(g\\) 可以变为 \\(\\gcd(g,l)\\)（\\(l\\) 为这个环的长度），可以变得更小。

  为什么一定存在这种环：设 \\(rt\\) 为生成树的树根，若 \\(x\\) 到 \\(rt\\) 存在长度 \\(\\not\\equiv dep_rt-dep_x \\pmodg\\) 的路径，则 \\(x \\to rt \\to x\\) 就符合要求；对 \\(u,v\\) 均同理。于是可以构造 \\(x \\to rt \\to u \\to v \\to rt \\to x\\) 这样的环，除了 \\(u \\to v\\) 的一段其它都符合 \\(s \\to t\\) 所有路径长度模 \\(g\\) 意义下等于 \\(dep_t-dep_s\\) 这一性质，所以这个环长度一定不是 \\(g\\) 的倍数。

根据证明过程，可以扩展这个定理：

\\(\\forall x,y \\in \\textSCC,\\exists L, \\mathrms.t. \\forall l \\ge L \\and l \\equiv dep_y-dep_x \\pmod g\\)，存在以 \\(x\\) 为起点、以 \\(y\\) 为终点、长为 \\(l\\) 的路径。

证明过程类似。