后缀数组(SA)
Posted hewanying0622
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了后缀数组(SA)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
后缀数组
Suffix Array
时间复杂度\\(O(n \\log n)\\)
主要涉及到三个数组：
\\(sa[i]\\)表示后缀数组，排名第\\(i\\)个的后缀编号
\\(rk[i]\\)表示第\\(i\\)个后缀的排名
\\(height[i]\\)表示排名为\\(i\\)和\\(i-1\\)的后缀的lcp（最长公共前缀）
易得：\\(sa[rk[i]]=rk[sa[i]]=i\\)
求后缀数组get_sa
倍增实现，时间复杂度\\(O(n \\log_2n)\\)
定义：
- \\(x[i]\\)，桶数组，里面存的是编号
- \\(fu[i]\\)，辅助数组，里面记录上一次的sa与tong
- \\(cnt[i]\\)，记录每一个桶中的数量
伪代码
void get_sa()
按第一个字母排序:
1~n 编桶号，记录cnt
1~m 求cnt的前缀和
n~1 倒序枚举，保序，按第一个字母排序，sa[cnt[x[i]]--]=i;
1~n,k<<=1，倍增
1. 按下一个关键字排序
memset,cnt
1~n fu->sa，把sa复制一遍
1~n 向右移动k位，cnt[x[fu[i]+k]]++;
1~m 求cnt前缀和
n~1 倒序枚举更新sa
2. 在按照之前排好的顺序排一次
3. 把后缀数组放入桶数组中，这样桶中就存的是前面已排序的部分的编号了
1~n fu->x
m=0;
1~n if前面的相同且这k位也相同，存入已有的桶中
else新建一个桶存入
m==n? 已经排好了
求height数组
时间复杂度\\(O(n)\\)
定义
\\(height[i]=lcp(sa[i],sa[i-1])\\)
定理
\\(height[rk[i]] \\ge height[rk[i-1]]-1\\)
后缀1为全数组
证明：
- 当\\(height[i] \\le 1\\)时，定理一定成立
- 当\\(height[i] \\gt 1\\)时
\\(lcp(sa[rk[i-1]],sa[rk[i-1]-1])=height[rk[i-1]] \\gt 1\\)
所以说后缀\\(i-1\\)和后缀\\(sa[rk[i-1]-1]\\)有着长度为\\(height[rk[i-1]]\\)的公共前缀
我们不妨设这个公共前缀为\\(aA\\)，其中\\(a\\)为一个字符，\\(A\\)为一个字符串
那么后缀\\(i-1\\)为\\(aAD\\)，后缀\\(sa[rk[i-1]-1]\\)为\\(aAB(B,D都为字符串，B可能为空串)\\)
所以后缀\\(i\\)为\\(AD\\)，且存在后缀\\((sa[rk[i-1]-1]+1)\\)为\\(AB\\)，则\\(AB \\lt AD\\)
由于\\(sa[rk[i]-1] \\lt AD\\)
所以\\(AB \\le sa[rk[i]-1] \\lt AD\\)
而\\(AB\\)和\\(AD\\)有公共前缀\\(A\\)
所以\\(sa[rt[i]-1]\\)和\\(i\\)一定有公共前缀\\(A\\)
所以\\(height[rk[i]] \\ge height[rk[i-1]]-1\\)
得证
伪代码
void get_height()
1~n 找rk
1~n 枚举后缀
如果是第一个 continue;
k--;
找到上一个
while开始匹配
更新height
例题：P3809 【模板】后缀排序
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e6+10;
char s[maxn];
int n,m,x[maxn],fu[maxn],sa[maxn],cnt[maxn];
void get_sa()
for(int i=1;i<=n;i++) cnt[x[i]=s[i]]++;
for(int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[i]]--]=i;
for(int k=1;k<=n;k<<=1)
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(int i=1;i<=n;i++) fu[i]=sa[i];
for(int i=1;i<=n;i++) cnt[x[fu[i]+k]]++;
for(int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[fu[i]+k]]--]=fu[i];
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(int i=1;i<=n;i++) fu[i]=sa[i];
for(int i=1;i<=n;i++) cnt[x[fu[i]]]++;
for(int i=1;i<=m;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n;i>=1;i--) sa[cnt[x[fu[i]]]--]=fu[i];
for(int i=1;i<=n;i++) fu[i]=x[i];
m=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(fu[sa[i]]==fu[sa[i-1]]&&fu[sa[i]+k]==fu[sa[i-1]+k]) x[sa[i]]=m;
else x[sa[i]]=++m;
if(m==n) break;
/*
int height[maxn],rk[maxn];
void get_height()
for(int i=1;i<=n;i++) rk[sa[i]]=i;
for(int i=1,k=0;i<=n;i++)
if(rk[i]==1) continue;
if(k) k--;
int j=sa[rk[i]-1];
while(i+k<=n&&j+k<=n&&s[i+k]==s[j+k]) k++;
height[rk[i]]=k;
*/
int main()
/*2023.5.2 hewanying P3809 【模板】后缀排序 后缀数组SA*/
scanf("%s",s+1);
n=strlen(s+1);m=122;
get_sa();
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",sa[i]);
printf("\\n");
return 0;
关于后缀树组的其他定理
\\(lcp(sa[i],sa[j])= \\minheight[i+1 \\to j]\\)
不同子串的个数：\\(\\fracn(n+1)2-\\sum_i=2^nheight[i]\\)
后缀数组详解+模板
后缀数组
注
SA[] 第几名是谁
后缀数组：后缀数组 SA 是一个一维数组， 它保存 1..n 的某个排列 SA[1] ，SA[2]，……，SA[n]，并且保证 Suffix(SA[i]) < Suffix(SA[i+1])，1≤i<n 。也就是将 S 的 n 个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入 SA 中。
Rank[] 谁是第几名名次数组：名次数组 Rank[i]保存的是 Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次 ” 。
r[]:原始数据j当前字符串的长度,每次循环根据2个j长度的字符串的排名求得2j长度字符串的排名.
y[]:指示长度为2j的字符串的第二关键字的排序结果,通过存储2j长字符串的第一关键字的下标进行指示.
wv[]:2j长字符串的第一关键字的排名序号.
ws[]:计数数组,计数排序用到.
x[]:一开始是原始数据r的拷贝(其实也表示长度为1的字符串的排名),之后表示2j长度字符串的排名.
p:不同排名的个数.
片段
1.对长度为1的字符串进行排序（函数的第一步）
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;
①用的是基数排序，也可以使用其它的排序
②r[]存储原本输入的字符串，x[]是对r[]的ASCII呈现（便于排序）
③m是一个估计数字，代表ASCII最大值，在循环中做边界
④n在这里是字符串的长度+1，后面的加加减减有所体现（貌似不介意直接用字符串的长度）
⑤最后一行比较难懂，但实践证明它确实是正确的，sa[i]=j表示第i名是j。
ws[i]是对第i及之前字符出现次数的累加，越往后ws[i]越大，而且对应的字符数值越大，举个例子，如果某一字符串为aaabaa，则a出现的次数为5，b出现的次数为1，按上述原理，可以看做ws[a]=5，ws[b]=6，固然a都在前5名，b在第六名。
对aabaaaab进行输出后为801345627，按照sa的定义对应起来
aabaaaab ～
23845679 1 非常正确
理解了这个，最后一行就能明白了
2.进行若干次基数排序
因为前面排序的名次可能有重复，所以要再进行若干次，直到所有的名次都不再相同
for(j=1,p=1; p<n; j*=2,m=p)
{
for(p=0,i=n-j; i<n; i++) y[p++]=i;
for(i=0; i<n; i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]];
for(i=0; i<m; i++) Ws[i]=0;
for(i=0; i<n; i++) Ws[wv[i]]++;
for(i=1; i<m; i++) Ws[i]+=Ws[i-1];
for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--Ws[wv[i]]]=y[i];
for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i<n; i++)
x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
}
相对于上面函数的第一步来说，这一坨代码更加复杂了
①从最外层循环可以看出，j是处于倍增状态的，代表正在比较的每一小段字符串的长度
②循环内的第一行，循环了j-1次，是对后面几个数的提前处理（其第二关键字都为0）如图
即所有加0的数
③第二行，再翻上去看一眼sa的作用。首先要明白这一行抛弃了一些东西，
由于是对第二关键字的排序，第一关键字先不看，所以有一条件if(sa[i]>=j)
这条语句后面y[p++]=sa[i]-j，要减去j也是因为这个
到这里，第二关键字的排序就完成了
④开始第一关键字的排序
假设需要排序的数为92 71 10 80 63 90
那么y[]=3 4 6 2 1 5 即对第二关键字排序后名次递增所对应的序号
x[]=10 80 90 71 92 63 即对第二关键字排序的结果
for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]];将x[]数组拷贝到wv[]中
⑤剩下的基数排序就与对长度为1的字符串进行排序一样了
完整的代码（参考理解）
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
using namespace std;
const int MAXN=100010;
//以下为倍增算法求后缀数组
int wa[MAXN],wb[MAXN],wv[MAXN],Ws[MAXN];
int cmp(int *r,int a,int b,int l)
{return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];}
/**< 传入参数：str,sa,len+1,ASCII_MAX+1 */
void da(const char r[],int sa[],int n,int m)
{
int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;
for(i=0; i<m; i++) Ws[i]=0;
for(i=0; i<n; i++) Ws[x[i]=r[i]]++;//以字符的ascii码为下标
for(i=1; i<m; i++) Ws[i]+=Ws[i-1];
for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--Ws[x[i]]]=i;
/*cout<<"SA"<<endl;;
for(int i=0;i<n+1;i++)cout<<sa[i]<<‘ ‘;*/
for(j=1,p=1; p<n; j*=2,m=p)
{
for(p=0,i=n-j; i<n; i++) y[p++]=i;
for(i=0; i<n; i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]];
for(i=0; i<m; i++) Ws[i]=0;
for(i=0; i<n; i++) Ws[wv[i]]++;
for(i=1; i<m; i++) Ws[i]+=Ws[i-1];
for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--Ws[wv[i]]]=y[i];
for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i<n; i++)
x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
}
return;
}
int sa[MAXN],Rank[MAXN],height[MAXN];
//求height数组
/**< str,sa,len */
void calheight(const char *r,int *sa,int n)
{
int i,j,k=0;
for(i=1; i<=n; i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0; i<n; height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1]; r[i+k]==r[j+k]; k++);
// Unified
for(int i=n;i>=1;--i) ++sa[i],Rank[i]=Rank[i-1];
}
char str[MAXN];
int main()
{
while(scanf("%s",str)!=EOF)
{
int len=strlen(str);
da(str,sa,len+1,130);
calheight(str,sa,len);
puts("--------------All Suffix--------------");
for(int i=1; i<=len; ++i)
{
printf("%d:\t",i);
for(int j=i-1; j<len; ++j)
printf("%c",str[j]);
puts("");
}
puts("");
puts("-------------After sort---------------");
for(int i=1; i<=len; ++i)
{
printf("sa[%2d ] = %2d\t",i,sa[i]);
for(int j=sa[i]-1; j<len; ++j)
printf("%c",str[j]);
puts("");
}
puts("");
puts("---------------Height-----------------");
for(int i=1; i<=len; ++i)
printf("height[%2d ]=%2d \n",i,height[i]);
puts("");
puts("----------------Rank------------------");
for(int i=1; i<=len; ++i)
printf("Rank[%2d ] = %2d\n",i,Rank[i]);
puts("------------------END-----------------");
}
return 0;
}
以上是关于后缀数组(SA)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章