初一数学教案有序数对

Posted 2023-04-26

参考技术A

　　 学习目标：

　　1、从实际生活中感受有序数对的意义，并会确定平面内物体的位置。

　　2、通过有序数对确定位置，让学生感受二维空间观，发展符号感及抽象思维能力，让学生体会具体-抽象-具体的数学学习过程。

　　3、培养学生的合作交流意识和探索精神，创造性思维意识。体验数学来源于生活及应用于生活的意识，更好的激发学习兴趣。

　　 学习重点：理解有序数对的概念，用有序数对来表示位置。

　　 学习难点：理解有序数对是有序的并用它解决实际问题，

　　 学习过程：

　　 一、 学前准备

　　预习疑难： 。

　　 二、 探索与思考

　　1、 观察思考：观察下图，什么时候气温最低?什么时候气温最高?你是如何发现的?

　　2、想一想：你看过电影吗?在电影院内，确定一个座位一般需要几个数据，为什么?

　　(1)如何找到6排3号这个座位呢?

　　(2)在电影票上6排3号与3排6号有什么不同?

　　(3)如果将6排3号简记作(6，3)，那么3排6号如何表示?

　　(4)(5，6)表示什么含义?(6，5)呢?

　　3、结论：①可用排数和列数两个不同的数来确定位置;

　　②排数和列数的先后顺序对位置有影响。

　　4、概念：

　　有序数对：用含有 的词表示一个 位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种 两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a,b)。

　　 三、 理解与运用

　　(一)用有序数对来表示位置的情况是很常见的.如人们常用经纬度来表示地球上的地点.你有没有见过用其他的方式来表示位置的?

　　(二)应用

　　例1 如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用(3，5)(4，5)(5，5)(5，4)(5，3)表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗?

　　分析：图中确定点用前一个数表示大街，后一个数表示大道。

　　解：其他的路径可以是：

　　(3，5)(4，5)(4，4)(5，4)(5，3);

　　(3，5)( ，5)(4，4)( ， )(5，3);

　　(3，5)( ， )( ， )( ， )(5，3);

　　 四、学习体会：

　　1、 本节课你有哪些收获?你还有哪些疑惑?

　　2、 预习时的疑难解决了吗?

　　 五、自我检测

　　1、小游戏：

　　怪兽吃豆豆是一种计算机游戏，图中的标志表示怪兽先后经过的几个位置. 如果用(1,2)表示怪兽按图中箭头所指路线经过的第3个位置. 那么你能用同样的方表示出图中怪兽经过的其他几个位置吗?

　　2、如图，马所处的.位置为(2，3).

　　(1) 你能表示出象的位置吗?

　　(2) 写出马的下一步可以到达的位置。

　　3、右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置?又如何描述A、B、C的位置?

　　4、有趣玩一玩：

　　中国象棋中的马颇有骑士风度，自古有马踏八方之说，如图六(1)，按中国象棋中马的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从日字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点，不能多也不能少。

　　要将图六(2)中的马走到指定的位置P处，即从(四，6)走到(六，4)，现提供一种走法：(四，6)(六，5)(四，4)(五，2)(六，4)

　　(1) 下面提供另一走法，请填上所缺的一步：(四，6)(五，8)(七，7)___(六，4)

　　(2)请你再给出另一种走法(要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限)，你的走法是：

　　 六、方法归类

　　常见的确定平面上的点位置常用的方法

　　(1)以某一点为原点(0，0)将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。

　　(2)以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。

　　如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏东45，距灯塔3km 处。

　　1、如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方舰艇来说：

　　(1)北偏东方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置，还需要什么

　　数据?

　　(2)距我方潜艇图上距离为1cm处的敌舰有哪几艘?

　　(3)要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据?

　　2、如图是某城市市区的一部分示意图，对市政府来说：

　　(1) 北偏东60的方向有哪些单位?要想确定单位的位置。还需要哪些数据?

　　(2) 火车站与学校分别位于市政府的什么方向，怎样确定他们的位置?

　　课题：6.1.2平面直角坐标系(第一课时) 课型：新授

　　学习目标：1.理解平面直角坐标系，以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念.

　　2.认识并能画出平面直角坐标系.

　　3.能在给定直角坐标系中，由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置

　　学习重点：根据点的坐标在直角坐标系中描出点的位置。

　　学习难点：探索特殊的点与坐标之间的关系。

　　学具准备：坐标纸，三角板

　　学习过程：

　　 一、学前准备

　　1、预习疑难： 。

　　2、填空：①规定了 、 、 的直线叫做数轴。

　　②数轴上原点及原点右边的点表示的数是 ;原点左边的点表示的数是 。

　　③画数轴时，一般规定向 (或向 )为正方向。

　　 二、探索与思考

　　(一)平面直角坐标系

　　1、观察：在数轴上，点A的坐标为 ，点B的坐标为 。

　　即：数轴上的点可以用一个 来表示，这个数叫做这个点的 。

　　反过来，知道数轴上的一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了。

　　2、思考：能不能有一种办法来确定平面内的点的位置呢?

　　3、平面直角坐标系概念：

　　平面内画两条互相 、原点 的数轴，组成平面直角坐标系.

　　水平的数轴称为 或 ，习惯上取向 为正方向;

　　竖直的数轴为 或 ，取向 为正方向;

　　两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的 。

　　4、点的坐标：

　　我们用一对 表示平面上的点，这对数叫 。表示方法为(a,b).a是点对应 上的数值，b是点在 上对应的数值。

　　(二)如何在平面直角坐标系中表示一个点

　　1、以A(2，3)为例，表示方法为：

　　A点在x轴上的坐标为 ，A点在y轴上的坐标为 ，

　　A点在平面直角坐标系中的坐标为(2,3)，记作：A(2，3)

　　2、方法归纳：由点A分别向X轴和 作垂线。

　　3、强调：X轴上的坐标写在前面。

　　4、活动：你能说出点B、C、D的坐标吗?

　　注意：横坐标和纵坐标不要写反。

　　5、思考归纳：原点O的坐标是( ， ),

　　x轴上的点纵坐标都是 , y轴上的横坐标都是 。

　　横轴上的点坐标为(x,0) ，纵轴上的点坐标为(0，y)

　　(三)象限：

　　1、 建立平面直角坐标系后，平面被坐标轴分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

　　第二象限(，+) 第一象限(+，+)

　　第三象限(，) 第四象限(+，)

　　2、注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限

　　3、你能说出上面例子中各点在第几象限吗?

　　 三、理解与运用

　　1、在游戏中学数学：以某同学为原点,以他所在的横排为x轴,以这一组为y轴,相邻两个同学之间的距离为单位长度建立坐标系.

　　(1)下面大家一起找一找自己在坐标系中的坐标分别是什么?

　　(2)下面这些坐标分别表示谁的位置? A(2,1);B(2,-1);C(-1,1);D(0,3);E(0,-1)

　　2、例 写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.

　　(1)点B与点C的纵坐标相同，线段BC的位置有什么特点?

　　(2)线段CE的位置有什么特点?

　　(3)坐标轴上点的坐标有什么特点?

　　3、归纳：点的位置及其坐标特征:

　　①.各象限内的点;

　　②.各坐标轴上的点;

　　③.各象限角平分线上的点;

　　④.对称于坐标轴的两点;

　　⑤.对称于原点的两点。

　　4、对应练习：教材43页1、2题(在书上完成)。

　　 四、学习体会：

　　1、本节课你有哪些收获?你还有哪些疑惑?

　　2、预习时的疑难解决了吗?

　　 五、自我检测：

　　(一)选择题:

　　1、若点M(x，y)满足x+y=0，则点M位于( )。

　　(A)第一、三象限两坐标轴夹角的平分线上; (B)x轴上;

　　(C) x轴上; (D)第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上。

　　2、第四象限中的点P(a，b)到x轴的距离是( )

　　(A)a (B)-a (C)-b (D)b

　　3、点A(-m，1-2m)关于原点对称的点在第一象限，那么m的取值范围是( )。

　　(A)m(B)m (C)m (D)m0 。

　　(二)填空题:

　　1、点P(3，-4)关于原点的对称点的坐标为___________;关于x轴的对称点的坐标为___________;关于y轴的对称点的坐标为____________

　　2、已知A(a，6)，B(2，b)两点。

　　①当A、B关于x轴对称时，a=_____;b=_____。

　　②当A、B关于y轴对称时，a=_____;b=_____。

　　③当A、B关于原点对称时，a=_____;b=_____。

　　 六、解答题

　　1.在下图中，分别写出八边形各个顶点的坐标.

　　2.下图是画在方格纸上的某岛简图.

　　(1)分别写出地点A，L，O，P，E的坐标;

　　(2)(4，7)(5，5)(2，5)所代表的地点分别是什么?

有序数的有效稳定总和

【中文标题】有序数的有效稳定总和

【英文标题】：Efficient stable sum of ordered numbers

【发布时间】：2020-03-09 07:25:38

【问题描述】：

我有一个很长的浮点正数列表（std::vector<float>，大小约为 1000）。数字按降序排列。如果我按照顺序对它们求和：

for (auto v : vec)  sum += v; 

我想我可能会遇到一些数值稳定性问题，因为接近向量末尾的sum 会比v 大得多。最简单的解决方案是以相反的顺序遍历向量。我的问题是：这种方法和前瞻案例一样有效吗？我会丢失更多缓存吗？

还有其他智能解决方案吗？

【问题讨论】：

速度问题很容易回答。对其进行基准测试。

速度比准确性更重要吗？

不是完全重复，但非常相似的问题：sum of series using float

你可能要注意负数。

如果您真的很在意高精度，请查看Kahan summation。

【参考方案1】：

我bench-marked您的用例和结果（见附图）指出向前或向后循环不会产生任何性能差异的方向。

您可能还想在硬件 + 编译器上进行测量。

---

使用 STL 执行求和与手动循环数据一样快，但更具表现力。

使用以下方法进行反向累积：

std::accumulate(rbegin(data), rend(data), 0.0f);

同时用于前向累积：

std::accumulate(begin(data), end(data), 0.0f);

【讨论】：

那个网站超级酷。只是为了确定：你没有计时随机生成，对吧？

不，只有state循环中的部分是定时的。

【参考方案2】：

我想我可能有一些数值稳定性问题

所以测试一下。目前你有一个假设的问题，也就是说，完全没有问题。

如果您进行测试，并且假设变成了一个实际问题，那么您应该担心实际修复它。

也就是说 - 浮点精度可能会导致问题，但您可以先确认它是否真的适用于您的数据，然后再将其优先于其他所有内容。

...我会丢失更多缓存吗？

一千个浮点数为 4Kb - 它适合现代大众市场系统的缓存（如果您有其他平台，请告诉我们它是什么）。

唯一的风险是预取器在向后迭代时不会帮助您，但您的向量当然可能已经在缓存中。除非您在完整计划的上下文中进行概要分析，否则您无法真正确定这一点，因此在您拥有完整计划之前不必担心它。

还有其他智能解决方案吗？

不要担心可能会成为问题的事情，直到它们真正成为问题。最多值得注意的是可能的问题，并构建代码，以便以后可以用精心优化的解决方案替换最简单的解决方案，而无需重新编写其他所有内容。

【参考方案3】：

最简单的解决方案是以相反的顺序遍历向量。我的问题是：这种方法和前瞻案例一样有效吗？我会丢失更多缓存吗？

是的，它很有效。来自硬件的分支预测和智能缓存策略已针对顺序访问进行了调整。你可以安全地积累你的向量：

#include <numeric>

auto const sum = std::accumulate(crbegin(v), crend(v), 0.f);

【讨论】：

您能否澄清一下：在这种情况下，“顺序访问”是指向前、向后或两者兼而有之？

@RuggeroTurra 我不能，除非我能找到来源，而且我现在没心情阅读 CPU 数据表。

@RuggeroTurra 通常顺序访问意味着转发。所有半体面的内存预取器都会捕获前向顺序访问。

@Toothbrush，谢谢。所以，如果我向后循环，原则上，这可能是一个性能问题

原则上，至少在某些硬件上，如果整个向量已经在 L1 缓存中。

【参考方案4】：

为此，您可以在std::vector<float> vec 中使用没有任何换位的反向迭代器：

float sum0.f;
for (auto rIt = vec.rbegin(); rIt!= vec.rend(); ++rIt)

    sum += *rit;

或者使用标准算法做同样的工作：

float sum = std::accumulate(vec.crbegin(), vec.crend(), 0.f);

性能必须相同，只改变你的矢量的旁路方向

【讨论】：

如果我错了，请纠正我，但我认为这比 OP 使用的 foreach 语句更有效，因为它引入了开销。 YSC 在数值稳定性部分是正确的。

@sephiroth 不，任何半体面的编译器都不会真正关心您是否编写了 range-for 或迭代器。

由于缓存/预取，实际性能绝对不能保证相同。 OP对此保持警惕是合理的。

【参考方案5】：

如果您所说的数值稳定性是指准确性，那么是的，您最终可能会遇到准确性问题。根据最大值与最小值的比率，以及您对结果准确性的要求，这可能是也可能不是问题。

如果您确实想获得高精度，请考虑使用Kahan summation - 它使用额外的浮点数进行误差补偿。还有pairwise summation。

有关准确度和时间之间权衡的详细分析，请参阅this article。

C++17 更新：

其他一些答案提到了std::accumulate。从 C++17 开始，有 execution policies 允许算法并行化。

例如

#include <vector>
#include <execution>
#include <iostream>
#include <numeric>

int main()
  
   std::vector<double> input0.1, 0.9, 0.2, 0.8, 0.3, 0.7, 0.4, 0.6, 0.5;

   double reduceResult = std::reduce(std::execution::par, std::begin(input), std::end(input));

   std:: cout << "reduceResult " << reduceResult << '\n';

这应该会以非确定性舍入错误为代价更快地对大型数据集求和（我假设用户将无法确定线程分区）。