Miller–Rabin

Posted 2023-03-25

参考技术A Miller–Rabin算法用于检测大素数，时间复杂度是
使用费马小定理和二次探测检测一个数是否是质数。 当p是质数时，这个公式成立。但是这个公式成立p不一定是质数。因为有些合数，对于特定的a同样得到这个结果。其中有一类数无论a是什么都满足这个公式，例如561。如果不存在这样的数选择多次不同的a进行验证，使用费马小定理就可以检测出一个数是否是质数。
二次探测定理：如果p是素数 , 的解是 or
证明过程就是

, 和 都能使这个式子成立。而x在1到p范围内的解只有1和p-1。

给定一个N判断是否是整数，将N-1分解为 的形式。
我们要判断对于N来说是否能使费马小定理成立。随机选择一个a，
费马小定理告诉我们如果N是质数最后结果模p同余1。计算 的过程中，可以分为计算 ，然后对 进行t次平方，第二步的过程我们可以使用二次探测定理验证。

分解

根据二次探测定理可知p不是质数。

说明66*68拥有561的全部质因数，66<561并且68<561,所以561的质因数必定来自66的一部分和68的一部分。

通常应该取随机值，但是有人测试过在下面的范围取固定的几个a就可以了。
如果n <2,047，则测试a = 2 就足够了；
如果n <1,373,653，则测试a = 2和3 就足够了；
如果n <9,080,191，则测试a = 31和73 就足够了；
如果n <25,326,001，则足以测试a = 2、3和5；
如果n <3,215,031,751，测试a = 2、3、5 和7 就足够了；
如果n <4,759,123,141，测试a = 2、7和61 就足够了；
如果n <3,474,749,660,383，测试a = 2、3、5、7、11 和13 就足够了；
如果n <341,550,071,728,321，则足以测试a = 2、3、5、7、11、13 和17。
如果n <3,825,123,056,546,413,051，则足以测试a = 2、3、5、7、11、13、17、19 和23
随机选择a，为了确保正确率通常选择的k比较高，我们知道有以上结论，每次测试直接选择前几个质数就可以了。当我们的质数选择10时，已经可以测试long long范围内的数了。
Miller-Rabin时间复杂度是 k是选取a的次数。

使用了__int128省去了自己写快速乘法的时间。
判定1e18的质数