张量基本概念

Posted 2022-10-26 CareChere

张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量（Combinationof basis vector and component）。

由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。此外，张量所描述的物理量是不随观察者或者说参照系而变化的，当参照系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是张量）保持不变。这一点对于我们构造数据对象，进而展开分析建模，有着至关重要的意义。

回顾过去我们对“量”的认识过程，我们都懂得用“一个数”来表示数量（标量），用“一个数组”（列矩阵或行矩阵）来表示一个向量，这都属于代数手法。如果采用几何手法，标量中的实数可以表示为一维坐标系（如数轴）上的一个点，复数可以表示为二维坐标系（如复平面）上的一个点。向量通常可以表示为二维、三维或更高维坐标系中的一个空间点或有向线段。如果我们把代数手法和几何手法结合起来即采用解析几何的手法，向量又可以表示为某种坐标基向量和坐标分量的线性组合。

那么现在，我们接触的张量该如何表示呢？让我们逐“阶”而上，看看张量的数据结构形象

1、一阶张量（向量）

不妨首先假定在三维空间中，则一个一阶张量（向量）有3个分量，可以表示为一个有序3元数组或1×3阶的行矩阵

Tj = [T1 T2 T3]

在n维空间中，一个一阶张量（向量）有n个分量，可以表示为一个有序n元数组，或表示为一个1×n阶行矩阵

Tj = [T1 T2 ...... Tn]

也就是说，一个一阶张量（向量）可以用一个行矩阵表示，似乎构成“一条直线”。

2、二阶张量

在三维空间中，一个二阶张量则有9个分量，可以表示为一个有序9元数组或3×3阶的矩阵

一般地，在n维空间中，一个二阶张量有n2个分量，可以表示为一个有序n2元数组，或表示为一个n×n阶矩阵

也就是说，一个二阶张量可以用一个矩阵表示，似乎构成“一张平面”。如下图所示： 图：二阶张量矩阵平面

3、三阶张量

在三维空间中一个三阶张量

有27个分量，似乎可以构成一组3个矩阵，每个矩阵都是3×3个元素。设想“三张平面”构成一个“立方体”。如下图所示：

图1：三阶张量数据

如果在n维空间，一个三阶张量

有n^3个分量，也可以构成n个矩阵，每个矩阵都是n×n个元素。设想“n张平面”构成一个“立方体”，好像一块积木。如下图所示：

图2：三阶张量立方体积木

4、四阶张量

继续探讨我们的“积木游戏”。在三维空间中一个四阶张量

有81个分量，似乎可以构成一组9个矩阵，每个矩阵都是3×3个元素。设想每“三张平面”构成一个“立方体”，共有3个“立方体”或曰3块“积木”。3块“积木”排成一列，好像由矩阵构成的“阵列”。

如果在n维空间，一个四阶张量

有n^4个分量，也可以构成n^2个矩阵，每个矩阵都是n×n个元素。设想每“n张平面”构成一个“立方体”（一块积木），n块积木排成一列。我们把这样相互关联的一组矩阵叫做“阵列”。如下图所示：

图3：四阶张量数据阵列

5、五阶张量

如果是n维空间中的一个五阶张量

，共有n^5个分量，则可以构成n^3个矩阵。设想每n张平面（矩阵）构成一块积木，每n块积木构成一条阵列，共有n条阵列，可以垒成“一堵墙”。假如以元素（张量的分量）为单位，这堵“墙”的高和长都是n^2，厚度是n。以3维空间为例，如下图所示：

图4：五阶张量阵列墙（设n＝3）

6、六阶张量

对于6阶张量，n^6个分量可以组成n^4张矩阵平面，构成n^3块积木，再排成n^2条阵列，垒成n堵墙，最后拼成一个方垛。以3维空间为例，如下图所示：

图5：六阶张量数据方垛（设n＝3）

7、M阶张量

一般地，在n维空间中的一个M阶张量共有个分量，可以组成 张矩阵平面，构成 块积木，再排成 条阵列，垒成 堵墙，最后拼成 个方垛，再排成 条方垛阵列，......依此类推。

我的天啊！太恐怖啦！不要怕，计算机最擅长作这类数据结构的运算和处理。这就是在计算机时代的今天为什么要研究和普及张量算法的原因。

 

1.张量的四种定义
1.张量是多维数组，这个定义常见于各种人工智能软件。
2.张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变
3.张量是向量和余向量（covector）通过张量积（tensor product）组合而成的。
4.张量是多重线性映射，即：

除零阶张量外，张量的具体表示还与坐标系的选择有关，选择不同的坐标系，意味着选择不同的基矢（basis）进行展开。以矢量为例，在给定坐标系，矢量由多个数构成，这些数实际上为当前基矢下的展开系数，如果坐标轴变化了，即基矢变化了，那么自然而然，对应的展开系数也就变化了。

2.张量表示形式
一阶张量可以理解为一个向量，二阶张量可以理解为矩阵，三阶张量可以理解成立方体，四阶张量可以理解成立方体组成的一个向量，五阶张量可以理解成立方体组成的矩阵，依次类推。
把三维张量画成一个立方体：

3.现实世界中的数据张量
1）向量数据
2D张量，形状为（samples,features）

2）时间序列数据或序列数据
3D张量，形状为（sampels,timesteps,features）

当时间（或序列顺序）对于数据很重要时，应该将数据存储在带有时间轴的3D张量中。每个样本可以被编码为一个向量序列（即2D张量），因此一个数据批量就被编码为一个3D张量。

图像通常具有三个维度：高度，宽度和颜色深度。虽然灰度图像（比如MNIST数字图像）只有一个颜色通道，因此可以保存在2D张量中，但按照惯例，图像张量始终是3D张量，灰度图像的彩色通道只有一维。因此，如果图像大小为 256 × 256 256\\times256256×256 ，那么128张灰度图像组成的批量可以保存在一个形状为（128，256，256，1）的张量中，而128张彩色图像组成的批量则可以保存在一个形状为（128，256，256，3）的张量中。

图像张量的形状有两种约定：通道在后（channels-last）的约定（在 TensorFlow 中使用）和 通道在前（channels-first）的约定（在 Theano 中使用）。Google 的 TensorFlow 机器学习框架将 颜色深度轴放在最后：(samples, height, width, color_depth)。与此相反，Theano 将图像深度轴放在批量轴之后：(samples, color_depth, height, width)。如果采 用 Theano 约定，前面的两个例子将变成 (128, 1, 256, 256) 和 (128, 3, 256, 256)。 Keras 框架同时支持这两种格式。

3）图像
4D张量，形状为（samples,height,width,channels）或（samples,channels,height,width）

4）视频
5D张量，形状为（samples,frames,height,width,channels）或（samples,frames,channels,height,width）

视频数据是现实生活中需要用到 5D 张量的少数数据类型之一。视频可以看作一系列帧， 每一帧都是一张彩色图像。由于每一帧都可以保存在一个形状为 (height, width, color_ depth) 的 3D 张量中，因此一系列帧可以保存在一个形状为 (frames, height, width, color_depth) 的 4D 张量中，而不同视频组成的批量则可以保存在一个 5D 张量中，其形状为 (samples, frames, height, width, color_depth)。

4）阶（order/ways/modes/rank）
阶：张成所属张量空间的向量空间的个数
一阶张量（向量）：[5,10,15,30,25]
二阶张量（矩阵）：（[[5,10,15,30,25],[20,30,65,70,90],[7,80,95,20,30]]）
三阶张量：（[[[5,10,15,30,25],[20,30,65,70,90],[7,80,95,20,30]],[[3,1,1,0,2],[2,3,5,7,9],[7,8,5,2,3]],[[15,0,5,0,5],[0,0,5,0,0],[7,0,5,0,0]]]）

在实际的操作中，秩可以理解为[的深度。例如：
rank = 1:[0,1,2]
rank = 2:[[0,1],[2,3]]
rank = 3:[[[0,1],[2,3]],[[4,5],[6,7]]]

一阶张量（向量）：
二阶张量（矩阵）：

三阶或更高阶张量：
零阶张量（数量）：

以三阶张量为例：