数据结构-树&图树和图的性质

Posted 2022-08-06 Mount256

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构-树&图树和图的性质相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

【注意】不要死记结论，理解推导过程及其背后的思路更重要！

文章目录

1 树的性质

1.1 非平凡树的性质

总结点数 = 总度数 + 1（等价于：总结点数 = 总边数/总分支数 + 1）（等价于：若结点总数为 n，则边的数量为 n-1）

【证明】每个结点的度数等于其子结点的个数，即等于与它相连的下一层结点的个数，因此可以推得：某一层的总度数等于下一层结点数的个数。假设一棵树的高度为 h 层，把第 1 层、第 2 层、……、第 h-1 层的总度数加起来，得到的是整棵树中，除了根节点以外的总结点数，因此最后的结果需加 1

【推论】对于二叉树，每个结点有 2 个指针域，一个非空指针域对应一个分支（一条边），因此，n 个结点的二叉树有 n-1 个非空指针域，因而可以得知空指针域 = 2n - (n-1) = n+1

度为 m 的树中，第 i 层最多有m^i-1个结点

【例】对于二叉树，第 2 层最多有 2^2-1 = 2¹ = 2 个结点，第 5 层最多有 2^5-1 = 2⁴ = 16 个结点；对于三叉树，第 2 层最多有 3^2-1 = 3¹ = 3 个结点，第 5 层最多有 3^5-1 = 3⁴ = 81 个结点

高度为 h 的 m 叉树的最多有(m^h-1)/(m-1)个结点，最少有 h 个结点

【证明】最多的情况：m 叉树每一层都排满结点，形成一个满 m 叉树，则结点数一共有S = m^h-1 + m^h-2 + … + m² + m¹ + m⁰ = (m^h-1)/(m-1)

最少的情况：每一层都只有 1 个结点

高度为 h、度为 m 的树最多有(m^h-1)/(m-1)个结点，最少有h+m-1个结点

【证明】最多的情况：度为 m 的树每一层都排满结点，则结点数一共有S = m^h-1 + m^h-2 + … + m² + m¹ + m⁰ = (m^h-1)/(m-1)

最少的情况：h-1 层都只有 1 个结点，最后一层有 m 个结点

思考：为什么以上两条性质的条件看起来类似，但结论不一样？

具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度为log_m(n(m-1)+1)（向上取整）

【证明】要使得高度最小，那么让 m 叉树的每一层都尽可能地排满结点。因此，前 h-1 层排满了所有的结点，结点总个数为S = m^h-2 + m^h-3 + … + m² + m¹ + m⁰ = (m^h-1-1)/(m-1)；对于最后的第 h 层，可以有 1 个到 m^h-1 （全部排满）个结点。

所以，一棵 m 叉树的总结点数的范围为(m^h-1-1)/(m-1)+1 ≤ n ≤ (m^h-1-1)/(m-1)+m^h-1，即(m^h-1-1)/(m-1) < n ≤ (m^h-1)/(m-1)，反解出 h 的范围得到：log_m(n(m-1)+1) ≤ h < log_m(n(m-1)+1)+1，由于 h 是正整数，因此 h 的取值为log_m(n(m-1)+1)（向上取整）

1.2 非空二叉树的性质

非空二叉树上的叶子结点数（n₀）等于度为 2 的结点数（n₂）加 1，即n₀ = n₂ + 1

【证明】设度为 0, 1 和 2 的结点个数分别为 n₀, n₁, n₂，结点总数为n = n₀ + n₁ + n₂，而总度数为B = n₁ + 2n₂。由结论“总结点数 = 总度数 + 1”可知，n = B + 1，代入得n₀ + n₁ + n₂ = n₁ + 2n₂ + 1，化简得n₀ = n₂ + 1

非空二叉树中，第 i 层最多有2^i-1个结点

【例】对于非空二叉树，第 2 层最多有 2^2-1 = 2¹ = 2 个结点，第 5 层最多有 2^5-1 = 2⁴ = 16 个结点

高度为 h 的非空二叉树的最多有2^h-1个结点，最少有 h 个结点

【证明】最多的情况：二叉树每一层都排满结点，形成一个满二叉树，则结点数一共有S = 2^h-1 + 2^h-2 + … + 2² + 2¹ + 2⁰ = 2^h-1；最少的情况：每一层都只有 1 个结点

1.3 完全二叉树的性质

对于高为 h 的完全二叉树，叶子结点只可能出现在第 h-1 层和第 h 层
若完全二叉树的一个编号为 i 的结点有左右孩子，则左孩子编号为 2i，右孩子编号为 2i+1

【推论】若完全二叉树的一个编号为 i 的结点有父节点且为父节点的左孩子，则父节点编号为 i/2；若为父节点的右孩子，则父节点编号为 (i-1)/2

结点 i 所在层数为log₂i（向下取整）+1

【证明】设结点 i 位于第 h 层，则从第 1 层到第 h-1 层的结点总数为2^h-1-1，若结点 i 位于第 h 层的第一个位置，则i = 2^h-1；若结点 i 位于第 h 层的最后一个位置，则i = 2^h-1。所以 i 的取值范围为2^h-1 ≤ i < 2^h，反解出 h 的范围：log₂i < h ≤ log₂i+1，由于 i 是正整数，因此 i 的取值为log₂i（向下取整）+1

若有度为 1 的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子而没有右孩子
设完全二叉树有 n 个结点，当 n 为奇数时，没有度为 1 的结点；当 n 为偶数时，有且仅有一个度为 1 的结点

【证明】设度为 0, 1 和 2 的结点个数分别为 n₀, n₁, n₂，则结点总数为n = n₀ + n₁ + n₂ = (n₂ + 1) + n₁ + n₂ = 2n₂ + n₁ + 1，求解出n₁ = n - 2n₂ - 1，注意到 2n₂-1 为奇数，又因为 n₁ 取值只可能为 0 或 1，因此当 n 为奇数时，n₁ 为偶数，即为 0；当 n 为偶数时，n₁ 为奇数，即为 1

具有 n 个结点的完全二叉树的高度为log₂(n+1)（向上取整）或log₂n（向下取整）+1

【证明 1】考虑一个高为 h-1 的满二叉树，其结点总数为2^h-1-1；考虑一个高为 h 的满二叉树，其结点总数为2^h-1。那么一棵高为 h 的完全二叉树的结点总数 n 应位于这两者之间：2^h-1-1 < n ≤ 2^h-1，反解出 h 的范围：log₂(n+1) ≤ h < log₂(n+1)+1，由于 h 是正整数，因此 h 的取值为log₂(n+1)（向上取整）

【证明 2】考虑一个高度为 h-1 的满二叉树，其结点总数为2^h-1-1，那么高度为 h 的完全二叉树的最少结点个数就是在上式基础上加 1，即2^h-1；而最多结点个数就是将第 h 层全部排满，即2^h-1。因此一棵高为 h 的完全二叉树的结点总数 n 应位于这两者之间：2^h-1 ≤ n < 2^h，反解出 h 的范围：log₂n < h ≤ log₂n+1，由于 h 是正整数，因此 h 的取值为log₂n（向下取整）+1

1.4 森林的性质

“左孩子右兄弟”：二叉树结点的左孩子是原森林（树）中结点的孩子，二叉树结点的右孩子是原森林（树）中结点的兄弟

设森林 F 对应的二叉树为 B，对应的树为 T，转换规则为“左孩子右兄弟”，则有：

若 B 的左子树结点总数有 m 个，右子树结点总数为 n 个，则 F 的第一棵树的结点总数为 m+1 个，F 的其他子树的结点总数为 n 个
F 或 T 的叶结点对应于 B 中没有左孩子的结点

【证明】由“左孩子右兄弟”规则可知，二叉树结点的左孩子是原森林（树）中结点的孩子。而现在森林（树）的叶结点是没有孩子的，因此对应的二叉树结点也没有左孩子

如果在 B 中结点 i 是父结点的右孩子，则在 T 或 F 中结点 i 一定有左兄弟

【证明】在 B 中结点 i 是父结点的右孩子，即父结点的右孩子为结点 i，意味着对应的 T 或 F 中父结点和结点 i 是兄弟关系，也就是说，结点 i 左兄弟是父结点

1.5 树、二叉树、森林的遍历性质

树的先根遍历 = 二叉树的先序遍历 = 森林的先根遍历（相当于依次对森林的每棵树进行先根遍历）
树的后根遍历 = 二叉树的中序遍历 = 森林的后根遍历（相等于依次对森林的每棵树进行后根遍历）

2 图的性质

2.1 无向图的性质

n 个顶点、e 条边的无向图的度：∑TD = 2e

【注意】若设图中度为 0, 1, 2, 3 的结点个数分别为 n₀, n₁, n₂, n₃，则∑TD = 2e = n₁ + 2n₂ + 3n₃

n 个顶点的简单完全无向图的边数：n(n-1)/2条
如果 n 个顶点的无向图是非连通图，则最少有 n-1 条边，最多有n(n-1)/2 + 1条边

【证明】非连通图的边最多的情况是：由 n-1 个顶点构成的完全无向图有 n(n-1)/2 条边，此时再加入一条边，将最后一个顶点与其他任意一个顶点连接，就得到了n(n-1)/2 + 1条边，注意此时的无向图从完全图变为了非连通图

【推论 1】（条件、结论倒置）若无向图的边数小于 n-1 条，则必为非连通图

【推论 2】若一个图有 n 个顶点，且有大于 n-1 条边，则此图一定有环（或称为回路）

无向图中的极大连通子图称为连通分量。一个非连通无向图一定有两个或以上的连通分量
生成树：连通图的极小连通子图构成了生成树；生成森林：非连通图的连通分量的极小连通子图构成了生成森林

【注意】“极大连通子图”包含了连通分量所有顶点和所有边；“极小连通子图”包含了连通分量所有顶点和（使得子图连通的）最少边数

2.2 有向图的性质

n 个顶点、e 条边的有向图的度：∑TD = ∑ID + ∑OD = e + e = 2e
n 个顶点的简单完全有向图的边数：n(n-1)条
若 n 个顶点的有向图是强连通图，那么边数最少有 n 条（形成一个环路）
有向图中的极大强连通子图称为强连通分量

2.3 存储结构的性质

无向图的邻接矩阵：行或列表示顶点的度
有向图的邻接矩阵：行表示出度，列表示入度
邻接矩阵为 A，则 Aⁿ[i][j] 表示顶点 i 到顶点 j 的长度为 n 的路径数
有向图的邻接表，其边表存储的是出边表（出度）

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以上是关于数据结构-树&图树和图的性质的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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算法学习笔记二叉树和图遍历—深搜 DFS 与广搜 BFS