LeetCode 0123.买卖股票的最佳时机III：常数空间下的动态规划+模拟

Posted 2022-07-30 Tisfy

【LetMeFly】123.买卖股票的最佳时机 III：常数空间下的动态规划+模拟

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

 

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

 

提示：

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

方法一：常数空间下的动态规划

这道题说白了最多有$5$个状态：

• 未进行过任何交易
• 进行了一次买入
• 进行了一次买卖
• 进行了一次买卖 + 一次买入
• 进行了两次买卖

未进行任何交易时，所获利为$0$，因此无需特别关注。

用四个变量$buy1,sell1,buy2,sell2$分别代表交易进行到剩下的四种状态时，当前获利的最大值。（这里变量名尽量与官方题解保持一致）

接下来我们严格遵守上述四个变量的含义

将四个变量的初始值赋值为第一天过后的最大获利值：

• $buy1$：第一天进行了一次买入。那么当前最大获利为 $负的第一天的股价$（说是最大获利，其实第一天进行到这种状态的话别无选择，只有这一种获利结果）
• $sell1$：第一天进行了一次买卖。那么买入和卖出的价格相同，当前最大获利为$0$
• $buy2$：第一天进行了一次买卖 + 一次买入。也就是说第一天买了一次立刻卖了，然后又买了一次，总(最大)获利为$负的第一天的股价$
• $sell2$：第一天进行了两次买卖。总收益为$0$

int buy1 = -prices[0]
int sell1 = 0;
int buy2 = -prices[0]
int sell2 = 0;

接下来，从第$2$天开始，模拟前$i$天，每种状态下的最大获利。

• $buy1$：前$i$天只进行过一次买入的最大获利。$buy=\max (bu{y}^{\prime },-prices[i])$。也就是说，可以是前$i-1$天股价较低的时候进行一次买入($bu{y}^{\prime }$)，也可以不在前$i-1$天买而是在第$i$天买入($-prices[i]$)。（这里用$bu{y}^{\prime }$代表第$i-1$天时$buy$的值）
• $sell1$：前$i$天进行过一次买卖。$sell1=\max (sell{1}^{\prime },buy{1}^{\prime }+prices[i])$。也就是说，可以是在前$i-1$天进行了一次买卖而今天不进行任何操作($sell{1}^{\prime }$)，也可以是前$i-1$天只进行了买入而在第$i$天卖出($buy{1}^{\prime }+prices[i]$)（卖出会获利$prices[i]$）
• $buy2$：前$i$天进行过一次买卖+一次买入。$buy2=\max (buy{2}^{\prime },sell{1}^{\prime }-prices[i])$。也就是说，可以是在前$i-1$天进行了一次买卖+一次买入而今天不进行任何操作($buy{2}^{\prime }$)，也可以是前$i-1$天进行了一次买卖而在第$i$天又买入了一次($sell{1}^{\prime }+(-prices[i])$)（买入会支出$prices[i]$）
• $sell2$：前$i$天进行了两次买卖。$sell2=\max (sell{2}^{\prime },buy{2}^{\prime }+prices[i])$。可以是在前$i-1$天进行了两次买卖而今天不进行任何操作($sell{2}^{\prime }$)，也可以是前$i-1$天只进行了一次买卖+一次买入而在第$i$天卖出了第二次买入($buy{2}^{\prime }+prices[i]$)（卖出会获利$prices[i]$）

因此，模拟完$n$天后，返回$sell2$即可（进行了两次买卖）

注意，题目中是最多进行两次买卖，也就是说可以只进行一次买卖或不进行任何买卖。不进行买卖和买入的当天卖出是等价的，因此可以理解为必须进行了两次买卖但可能买入的同一天卖出过。

• 时间复杂度$O(n)$
• 空间复杂度$O(1)$，只使用了常数个额外空间

AC代码

C++

class Solution 
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) 
        int buy1 = -prices[0], sell1 = 0;
        int buy2 = -prices[0], sell2 = 0;
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) 
            buy1 = max(buy1, 0 + (-prices[i]));
            sell1 = max(sell1, buy1 + (prices[i]));
            buy2 = max(buy2, sell1 + (-prices[i]));
            sell2 = max(sell2, buy2 + (prices[i]));
        
        return sell2;
    
;

代码很短，关键在于严格遵守变量的定义并理解。

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