备战蓝桥杯----完全背包问题（动态规划）
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了备战蓝桥杯----完全背包问题（动态规划）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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前言
今天我们接着上一篇博客继续学习背包问题：完全背包问题，这里将介绍完全背包问题的二维解法和一维解法，希望你可以喜欢。
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完全背包问题
完全背包问题是一个经典的动态规划问题，其解法主要有一维解法和二维解法两种。本文将分别介绍这两种解法，并给出C++语言的实现。
问题定义
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。
二维解法
二维解法的思路是：对于每个物品，枚举背包容量和物品数量，计算背包容量为j，物品数量为k时的最大价值。状态转移方程为：f[j][k] = max(f[j][k], f[j-v[i]][k-1]+w[i])，其中f[j][k]表示背包容量为j，物品数量为k时的最大价值，v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值。
二维状态定义：
f i , j f_i,j fi,j 表示前 i i i 个物品，背包容量为 j j j 时的最大价值。
二维状态方程：
f i , j = max f i − 1 , j , f i , j − v i + w i f_i,j=\\max\\f_i-1,j,f_i,j-v_i+w_i\\ fi,j=maxfi−1,j,fi,j−vi+wi，其中 v i v_i vi 表示第 i i i 个物品的体积， w i w_i wi 表示第 i i i 个物品的价值。
以下是C++语言的实现代码：
#include<bits/stdc++.h> //头文件
using namespace std;
const int N=1010; //常量定义，N为物品数量的上限
int n,m; //n为物品数量，m为背包容量
int v[N],w[N]; //v数组存储物品的体积，w数组存储物品的价值
int f[N][N]; //f数组存储背包容量为j，物品数量为k时的最大价值
int main()
cin>>n>>m; //输入物品数量和背包容量
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i]; //输入每个物品的体积和价值
for(int i=1;i<=n;i++) //枚举每个物品
for(int j=v[i];j<=m;j++) //枚举背包容量
for(int k=1;k<=j/v[i];k++) //枚举物品数量
f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v[i]][k-1]+w[i]); //状态转移方程
cout<<f[m][m/v[n]]<<endl; //输出背包容量为m时的最大价值
return 0; //程序结束
代码优化：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N]; // f[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值
int main()
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++) // 枚举前i个物品
for(int j=1;j<=m;j++) // 枚举背包容量
f[i][j]=f[i-1][j]; // 不将第i个物品放入背包中
if(j>=v[i]) // 如果第i个物品的体积小于等于背包容量
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]); // 将第i个物品放入背包中
cout<<f[n][m]<<endl; // 输出前n个物品放入容量为m的背包中所能获得的最大价值
return 0;
一维解法
一维解法的思路是：对于每个物品，枚举背包容量，计算背包容量为j时的最大价值。状态转移方程为：f[j] = max(f[j], f[j-v[i]]+w[i])，其中f[j]表示背包容量为j时的最大价值，v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值。
一维状态定义：
f j f_j fj 表示背包容量为 j j j 时的最大价值。
一维状态方程：
f j = max f j , f j − v i + w i f_j=\\max\\f_j,f_j-v_i+w_i\\ fj=maxfj,fj−vi+wi，其中 v i v_i vi 表示第 i i i 个物品的体积， w i w_i wi 表示第 i i i 个物品的价值。
以下是C++语言的实现代码：
#include<bits/stdc++.h> //头文件
using namespace std;
const int N=1010; //常量定义，N为物品数量的上限
int n,m; //n为物品数量，m为背包容量
int v[N],w[N]; //v数组存储物品的体积，w数组存储物品的价值
int f[N]; //f数组存储背包容量为j时的最大价值
int main()
cin>>n>>m; //输入物品数量和背包容量
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i]; //输入每个物品的体积和价值
for(int i=1;i<=n;i++) //枚举每个物品
for(int j=v[i];j<=m;j++) //枚举背包容量
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); //状态转移方程
cout<<f[m]<<endl; //输出背包容量为m时的最大价值
return 0; //程序结束
总结
完全背包问题是一个经典的动态规划问题，其解法主要有一维解法和二维解法两种。一维解法的空间复杂度为O(m)，时间复杂度为O(nm)，适用于物品数量较少的情况；二维解法的空间复杂度为O(m2)，时间复杂度为O(nm2)，适用于物品数量较多的情况。
与01背包问题的区别：
完全背包问题和01背包问题是两个经典的背包问题，它们之间的区别主要体现在选择物品的方式上。
01背包问题：每件物品最多只能选择一次，要么放入背包，要么不放。因此，对于第
i
i
i 件物品，只有两种选择，放入背包或者不放入背包。
完全背包问题：每件物品可以选择无限次，即可以放入背包中多次。因此，对于第
i
i
i 件物品，可以选择放入背包中
0
0
0 次、
1
1
1 次、
2
2
2 次、…… 直到不能再放为止，因此有无限个选择。
因此，在状态转移方程上，完全背包问题与01背包问题的区别在于：
01背包问题：
d
p
[
i
]
[
j
]
=
max
(
d
p
[
i
−
1
]
[
j
]
,
d
p
[
i
−
1
]
[
j
−
v
[
i
]
]
+
w
[
i
]
)
dp[i][j]=\\max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−v[i]]+w[i])
完全背包问题：
d
p
[
i
]
[
j
]
=
max
(
d
p
[
i
−
1
]
[
j
]
,
d
p
[
i
]
[
j
−
v
[
i
]
]
+
w
[
i
]
)
dp[i][j]=\\max(dp[i-1][j],dp[i][j-v[i]]+w[i])
dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−v[i]]+w[i])
其中
d
p
[
i
]
[
j
]
dp[i][j]
dp[i][j] 表示前
i
i
i 个物品放入容量为
j
j
j 的背包中所能获得的最大价值，
v
[
i
]
v[i]
v[i] 表示第
i
i
i 件物品的体积，
w
[
i
]
w[i]
w[i] 表示第
i
i
i 件物品的价值。
最后
十分感谢你可以耐着性子把它读完和我可以坚持写到这里，送几句话，对你，也对我：
1. 理想主义的花，最终会盛开在浪漫主义的地里。如果有一天，你发现我在平庸面前低下了头，请向我开炮
2.在路上，我们永远年轻，永远热泪盈眶。——凯鲁亚克 《在路上》
3.我们还有更长的路要走，不过没关系，道路就是生活。——凯鲁亚克 《在路上》
4.多读点书，要不然你的三观是由你的亲朋好友决定的。
5.每一个优秀的人都有一段沉默的时光,那段时光,是付出了很多努力，却得不到结果的日子,我们把它叫做扎根。
最后如果觉得我写的还不错，请不要忘记点赞✌，收藏✌，加关注✌哦(｡･ω･｡)
愿我们一起加油，奔向更美好的未来，愿我们从懵懵懂懂的一枚菜鸟逐渐成为大佬。加油，为自己点赞！
蓝桥杯 ALGO-108最大体积 （动态规划）
如果是无限解，则输出0
第2行到N+1行: 每件物品的体积(1<= <=500)
3
6
10
1 #include<iostream> 2 #include<queue> 3 #include<set> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 int gcd(int a,int b){ 7 if(b==0)return a; 8 return gcd(b,a%b); 9 } 10 int N,a[20]; 11 bool isRight(){ 12 for(int i=1;i<N;i++){ 13 for(int j=i+1;j<=N;j++){ 14 int s=gcd(a[i],a[j]); 15 if(s!=a[i]&&s!=a[j]) return 1; 16 } 17 } 18 return 0; 19 } 20 set<long> dp; 21 bool canFind(long n){ 22 for(int i=1;i<=N;i++){ 23 if(n>=a[i]&&!dp.count(n-a[i])) { 24 return 0; 25 } 26 } 27 return 1; 28 } 29 int main(){ 30 cin>>N; 31 for(int i=1;i<=N;i++){ 32 cin>>a[i]; 33 } 34 if(!isRight()){ 35 cout<<"0"<<endl; 36 return 1; 37 } 38 sort(a+1,a+N+1); 39 queue<long> q; 40 41 for(int i=1;i<a[1];i++){ 42 dp.insert(i);q.push(i); 43 } 44 45 long ans=0; 46 while(!q.empty()){ 47 long top=q.front();q.pop(); 48 ans=max(top,ans); 49 for(int i=1;i<=N;i++){ 50 if(!dp.count(top+a[i])&&canFind(top+a[i])){ 51 dp.insert(top+a[i]); 52 q.push(top+a[i]); 53 } 54 } 55 } 56 cout<<ans<<endl; 57 return 0; 58 }
以上是关于备战蓝桥杯----完全背包问题（动态规划）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章