漫步凸分析八——回收锥与无界

Posted 2022-03-22 会敲键盘的猩猩

$R^n$中的有界闭子集通常比无界的更容易处理，然而，当集合为凸时，无界的困难度就下降很多，这实在是一大幸事，因为我们考虑的许多集合像上境图从他们的性质可知是无界的。

根据我们的直观理解，无界闭凸集在无穷远处行为比较简单，假设$C$是这样的一个集合并且$x$是$C$中的一点，那么似乎$C$必须包含以$x$为起点的某个整条半线，否则的话这就与无界相矛盾。这条半线的方向似乎不依赖于$x$：$C$中从另一个以$y$为起点的半线很明显仅仅是以$x$为起点的半线平移得到的，这些方向可以看成$C$中位于无穷远处的理想点，经过几何投影后得到一个水平点。那么$C$中以$x$为起点的半线可以理解成连接$x$与这种理想点之间的线段。

下面我们就需要将这些直观概念放到坚实的数学基础上并将其应用到凸函数的学习中。

首先我们来看如果将方向的概念形式化，$R^n$中的每个半线应该有一个方向，如果两条半线互相之间通过平移可以得到，那么他们的方向是一样的，因为我们将$R^n$中的方向定义为$R^n$中等价关系下的所有闭半线集，这个等价关系是半线$L_1$是半线$L_2$的平移得到的，那么根据定义，半线$\\x+\\lambda y|\\lambda\\geq0\\,y\\neq0$的方向就是半线平移后得到的所有半线集合，它与$x$无关，我们也可以成它为$y$的方向。对于$R^n$中的两个向量，当且仅当他们互相是正倍数关系时，他们的方向相同，零向量没有方向，谈到这，相信大家对于给定方向的反方向是何意都会很清楚了。

$R^n$中的点和$R^n+1$中超平面$M=\\(1,x)|x\\in R^n\\$ 的点有很自然的对应关系，点$x\\in R^n$可以用射线$\\\\lambda(1,x)|\\lambda\\geq0\\$表示，那么$R^n$的方向可以用射线$\\\\lambda(0,y)|\\lambda\\geq0\\,y\\neq0$表示，这条射线位于平行于$M$且过$R^n+1$原点的超平面上，这表明可以将$R^n$的方向看成$R^n$中无穷远处的点。(这个用法不同于投影集合)对于$R^n+1$中两条射线的凸包，他们与$M$ 相交的部分对应于$R^n$中表示他们的线段，如果一条射线表示无穷远处的一点，那么我们得出的不是线段而是一条半线。

令$C$是$R^n$中的非空凸集，当$C$包含所有以$C$中点为起点，方向是$D$的半线时，我们称$C$在方向$D$上回退(recede)，换句话说，$C$在$y,y\\neq0$方向上回退，当且仅当对于每个$\\lambda\\geq0,x\\in C$时$x+\\lambda y\\in C$。 所有满足这个条件的向量 y∈Rn<