单调队列怎么用java实现

Posted 2023-05-15

如题，我需要模板，不要随便从那个blog上copy

单调队列是一种严格单调的队列，可以单调递增，也可以单调递减。队首位置保存的是最优解，第二个位置保存的是次优解，ect。。。

单调队列可以有两个操作：
1、插入一个新的元素，该元素从队尾开始向队首进行搜索，找到合适的位置插入之，如果该位置原本有元素，则替换它。
2、在过程中从队首删除不符合当前要求的元素。

单调队列实现起来可简单，可复杂。简单的一个数组，一个head，一个tail指针就搞定。复杂的用双向链表实现。

用处：
1、保存最优解，次优解，ect。
2、利用单调队列对dp方程进行优化，可将O(n)复杂度降至O(1)。也就是说，将原本会超时的N维dp降优化至N-1维，以求通过。这也是我想记录的重点
是不是任何DP都可以利用单调队列进行优化呢？答案是否定的。
记住！只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i] （k<i && g[i]是与k无关的变量）才能用到单调队列进行优化。
优化的对象就是f[k]。

通过例题来加深感受
http://www.acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1685
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　我要长高
Description
韩父有N个儿子，分别是韩一，韩二…韩N。由于韩家演技功底深厚，加上他们间的密切配合，演出获得了巨大成功，票房甚至高达2000万。舟子是名很有威望的公知，可是他表面上两袖清风实则内心阴暗，看到韩家红红火火，嫉妒心遂起，便发微薄调侃韩二们站成一列时身高参差不齐。由于舟子的影响力，随口一句便会造成韩家的巨大损失，具体亏损是这样计算的，韩一，韩二…韩N站成一排，损失即为C*（韩i与韩i+1的高度差（1<=i<N））之和，搞不好连女儿都赔了.韩父苦苦思索，决定给韩子们内增高（注意韩子们变矮是不科学的只能增高或什么也不做），增高1cm是很容易的，可是增高10cm花费就很大了，对任意韩i，增高Hcm的花费是H^2.请你帮助韩父让韩家损失最小。
Input
有若干组数据，一直处理到文件结束。 每组数据第一行为两个整数：韩子数量N(1<=N<=50000)和舟子系数C(1<=C<=100) 接下来N行分别是韩i的高度(1<=hi<=100)。

首先建立方程，很容易想到的是，dp[i][j]表示第 i 个儿子身高为 j 的最低花费。分析题目很容易知道，当前儿子的身高花费只由前一个儿子影响。因此，
dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + abs(j-k)*C + (x[i]-j)*(x[i]-j))；其中x[i]是第i个儿子原本的身高
我们分析一下复杂度。
首先有N个儿子，这需要一个循环。再者，每个儿子有0到100的身高，这也需要一维。再再者，0到100的每一个身高都可以有前一位儿子的身高0到100递推而来。
所以朴素算法的时间复杂度是O(n^3)。题目只给两秒，难以接受！
分析方程：
当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要高时，
dp[i][j]=min(dp[i-1][k] + j*C-k*C + X); ( k<=j ) 其中 X=(x[i]-j)*(x[i]-j)。
当第 i 个儿子的身高比第 i-1 个儿子的身高要矮时，
dp[i][j]=min(dp[i-1][k] - j*C+k*C + X); ( k>=j )
对第一个个方程，我们令 f[i-1][k]=dp[i-1][k]-k*C, g[i][j]=j*C+X; 于是 dp[i][j] = min (f[i-1][k])+ g[i][j]。转化成这样的形式，我们就可以用单调队列进行优化了。
第二个方程同理。
接下来便是如何实现，实现起来有点技巧。具体见下

View Code

还有一个比较适合理解该优化方法的题目是HDU 3401http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3401
大概题目便是：一个人知道接下来T天的股市行情，想知道最终他能赚到多少钱。
构造状态dp[i][j]表示第i 天拥有 j只股票的时候，赚了多少钱
状态转移有：
1、从前一天不买不卖:
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j])
2、从前i-W-1天买进一些股:
dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]-(j-k)*AP[i],dp[i][j])
3、从i-W-1天卖掉一些股:
dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]+(k-j)*BP[i],dp[i][j])
这里需要解释一下为什么只考虑第i-W-1天的买入卖出情况即可。想想看，i-W-2天是不是可以通过不买不卖将自己的最优状态转移到第i-W-1天？以此类推，之前的都不需要考虑了，只考虑都i-W-1天的情况即可。

对买入股票的情况进行分析，转化成适合单调队列优化的方程形式
dp[i][j]=max(dp[i-W-1][k]+k*AP[i])-j*AP[i]。令f[i-W-1][k]=dp[i-W-1][k]+k*AP[i]，则dp[i][j]=max(f[i-W-1][k]) - j*AP[i]。
这便可以用单调队列进行优化了。卖股的情况类似分析。

View Code

最后再说一个应用，用单调队列来优化多重背包问题 hdu 2191
如果有n个物品，每个物品的价格是w，重量是c，且每个物品的数量是k，那么用这样的一些物品去填满一个容量为m的背包，使得得到的背包价值最大化，这样的问题就是多重背包问题。
对于多重背包的问题，有一种优化的方法是使用二进制优化，这种优化的方法时间复杂度是O(m*∑log k[i])，具体可以见
http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/08/06/2129505.html
而利用单调队列的优化，复杂度是O(mn)

首先，对于第i件物品，如果已知体积为V，价值为W，数量为K，那么可以按照V的余数，将当前的体积J分成V组(0,1,....V-1)。
对于任意一组，可以得到转移方程：f[i*V+c]=f[k*V+c]+(i-k)*W，其中c是V组分组中的任意一个
令f[i*V+c]=dp[i]，那么就得到dp[i]=dp[k]+(i-k)*W (k>=i-K)
将dp[k]-k*W看做是优化函数，那么就可以运用单调队列来优化了 参考技术A System;else if (o1;() @Overridepublic int compare(Point o1;System.poll());pq;public Point(int x;(11.poll());可以用ja1;Point>.x && o1.out;(" o2.x = x.out.x && o1;).y)return -1;pq;.poll()).poll())：
(1.offer(new Point(2;输出结果.7的优先队列;Point>.y > + y + " o2.println(pq.y)return 1,3)).println(pq;pq.offer(new Point(1; + x + ".println(pq;public String toString() return "System;public class PQTest public static void main(String[] args) Queue<.out, int y) this,2));this, new Comparator<,4)).x >, Point o2) if (o1.out, 3)

(4.offer(new Point(3;elsereturn 0.y = y.println(pq; o2;pq; o2.x <.offer(new Point(4;Point>,1)), "，实现相应对象的比较器
class Point int x, 1)

(2;System, y;)" pq = new PriorityQueue<.y <, 2)

(3
System;else if (o1;() @Overridepublic int compare(Point o1;System.poll());pq;public Point(int x;(11.poll());可以用ja1;Point>.x && o1.out;(" o2.x = x.out.x && o1;).y)return -1;pq;.poll()).poll())：
(1.offer(new Point(2;输出结果.7的优先队列;Point>.y > + y + " o2.println(pq.y)return 1,3)).println(pq;pq.offer(new Point(1; + x + ".println(pq;public String toString() return "System;public class PQTest public static void main(String[] args) Queue<.out, int y) this,2));this, new Comparator<,4)).x >, Point o2) if (o1.out, 3)

(4.offer(new Point(3;elsereturn 0.y = y.println(pq; o2;pq; o2.x <.offer(new Point(4;Point>,1)), "，实现相应对象的比较器
class Point int x, 1)

(2;System, y;)" pq = new PriorityQueue<.y <, 2)

(3
请题主给出这个类需要实现的接口和要求。
apache 有现成的
单调队列是一种严格单调的队列，可以单调递增，也可以单调递减。队首位置保存的是最优解，第二个位置保存的是次优解，ect。。。

单调队列可以有两个操作：
1、插入一个新的元素，该元素从队尾开始向队首进行搜索，找到合适的位置插入之，如果该位置原本有元素，则替换它。
2、在过程中从队首删除不符合当前要求的元素。

单调队列实现起来可简单，可复杂。简单的一个数组，一个head，一个tail指针就搞定。复杂的用双向链表实现。

用处：
1、保存最优解，次优解，ect。
2、利用单调队列对dp方程进行优化，可将O(n)复杂度降至O(1)。也就是说，将原本会超时的N维dp降优化至N-1维，以求通过。这也是我想记录的重点
是不是任何DP都可以利用单调队列进行优化呢？答案是否定的。
记住！只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i] （k<i && g[i]是与k无关的变量）才能用到单调队列进行优化。
优化的对象就是f[k]。 参考技术B

可以用java1.7的优先队列，实现相应对象的比较器

class Point 
int x, y;
public Point(int x, int y) 
this.x = x;
this.y = y;

public String toString() 
return "(" + x + ", " + y + ")";



public class PQTest 
public static void main(String[] args) 
Queue<Point> pq = new PriorityQueue<Point>(11, new Comparator<Point>() 
@Override
public int compare(Point o1, Point o2) 
if (o1.x > o2.x && o1.y > o2.y)
return 1;
else if (o1.x < o2.x && o1.y < o2.y)
return -1;
else
return 0;
);
pq.offer(new Point(1,1));
pq.offer(new Point(4,4));
pq.offer(new Point(2,2));
System.out.println(pq.poll());
System.out.println(pq.poll());
pq.offer(new Point(3,3));
System.out.println(pq.poll());
System.out.println(pq.poll());

输出结果：

(1, 1)

(2, 2)

(3, 3)

(4, 4)

追问

哥们……这个貌似是一个博客上的代码哎……还有……这种方法我会用，但是PriorityQueue中使用比较器进行比较的构造器在某些OJ上由于JDK版本过低没有模板过不去……不然我也不会求单调队列的模板了

追答

那这样的话，可以考虑用最小堆，可以保证每次出队列的都是最小的元素，

追问

出最小的元素使用自然排序的优先队列就可以了吧……怎么得到最大的数据呢

追答

那就最大堆，每次出队列的都是最大元素

本回答被提问者和网友采纳 参考技术C 我没记错Java自己实现了队列，你可以直接参考Oracle官方的源代码 参考技术D apache 有现成的

用数组模拟栈 队列 以及单调栈 单调队列应用

用数组模拟栈

// tt表示栈顶
int stk[N], tt = 0;

// 向栈顶插入一个数
stk[ ++ tt] = x;

// 从栈顶弹出一个数
tt -- ;

// 栈顶的值
stk[tt];

// 判断栈是否为空
if (tt > 0)
{

}

用数组模拟队列

// hh 表示队头，tt表示队尾
int q[N], hh = 0, tt = -1;

// 向队尾插入一个数
q[ ++ tt] = x;

// 从队头弹出一个数
hh ++ ;

// 队头的值
q[hh];

// 判断队列是否为空
if (hh <= tt)
{

}

单调栈模板

常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    while (tt && check(stk[tt], i)) tt -- ;
    stk[ ++ tt] = i;
}

对应题目

给定一个长度为N的整数数列，输出每个数左边第一个比它小的数，如果不存在则输出-1。

输入格式

第一行包含整数N，表示数列长度。

第二行包含N个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含N个整数，其中第i个数表示第i个数的左边第一个比它小的数，如果不存在则输出-1。

数据范围

1≤N≤1051≤N≤105
1≤数列中元素≤1091≤数列中元素≤109

输入样例：

5
3 4 2 7 5
输出样例：

-1 3 -1 2 2

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int stk[N],n,tt;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        while(tt&&stk[tt]>=x) tt--;
        if(tt)
        {
            cout<<stk[tt]<<" ";
        }
        else
        {
            cout<<"-1"<<" ";
        }
        stk[++tt]=x;
    }
}

单调队列模板

常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
int hh = 0, tt = -1;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
    while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++ ;  // 判断队头是否滑出窗口
    while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt -- ;
    q[ ++ tt] = i;
}

对应题目

给定一个大小为n≤106n≤106的数组。

有一个大小为k的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

您只能在窗口中看到k个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为[1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k为3。

窗口位置	最小值	最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	-1	3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	-3	3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	-3	5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	3	6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	3	7

您的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数n和k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有n个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7
输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7
代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000010;
int a[N],q[N];
int main()
{

    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(hh<=tt&&i-k+1>q[hh]) hh++;
        while(hh<=tt&&a[q[tt]]>=a[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
        if(i>=k-1) printf("%d ",a[q[hh]]);
    }
    printf("
");
      hh = 0, tt = -1;
   for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(hh<=tt&&i-k+1>q[hh]) hh++;
        while(hh<=tt&&a[q[tt]]<=a[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
        if(i>=k-1) printf("%d ",a[q[hh]]);
    }
     printf("
");

    return 0;
}