如何更改theorem 环境

Posted 2023-05-11

参考技术A <!--c1--><div class='codetop'>CODE</div><div class='codemain'><!--ec1-->\newtheoremdefinition[theorem]Definition

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如何使用 Master theorem 来描述递归？

【中文标题】如何使用 Master theorem 来描述递归？

【英文标题】：How do I use Master theorem to describe recursion?

【发布时间】：2010-09-18 04:01:00

【问题描述】：

最近一直在研究递归；怎么写，怎么分析等等。我一直认为递归和递归是一回事，但是最近的家庭作业和测验中的一些问题让我觉得有细微的差别，“递归”是一种方法描述递归程序或函数。

直到最近，这对我来说都是非常希腊化的，当我意识到有一种叫做“主定理”的东西用来写问题或程序的“重现”时。我一直在阅读***页面，但是，像往常一样，事情的措辞让我真的不明白它在说什么。我通过例子学得更好。

所以，有几个问题： 假设你得到了这个重复：

r(n) = 2*r(n-2) + r(n-1); r(1) = r(2) = 1

这实际上是主定理的形式吗？如果是这样，用语言来说，它在说什么？如果你想写一个小程序或基于这种递归的递归树，那会是什么样子？我应该尝试用数字代替，看到一个模式，然后编写可以递归创建该模式的伪代码，或者，因为这可能是主定理的形式，有没有更直接的数学方法？

现在，假设您被要求为从前一次重复创建的程序执行的加法次数查找重复次数 T(n)。我可以看到基本情况可能是 T(1) = T(2) = 0，但我不确定从那里去哪里。

基本上，我在问如何从给定的重复到代码，反之亦然。由于这看起来像主定理，我想知道是否有一种直接的数学方法来解决它。

编辑：好的，我已经查看了我过去的一些作业，以找到另一个我被问到的例子，“寻找复发”，这是我在帖子中遇到问题的问题的一部分.

以最佳方式描述的复发 方式加法运算次数 在下面的程序片段中 （当使用 l == 1 和 r == n 调用时）

int example(A, int l, int r) 
  if (l == r)
    return 2;
  return (A[l] + example(A, l+1, r);

【参考方案1】：

几年前，Mohamad Akra 和 Louay Bazzi 证明了一个推广 Master 方法的结果——它几乎总是更好。你真的不应该再使用主定理了......

例如，请参阅这篇文章：http://courses.csail.mit.edu/6.046/spring04/handouts/akrabazzi.pdf

基本上，让你的递归看起来像论文中的等式 1，挑选系数，并在定理 1 中整合表达式。

【参考方案2】：

扎卡里：

假设你得到了这个 重复：

r(n) = 2*r(n-2) + r(n-1); r(1) = r(2) = 1

事实上，这是否以 主定理？如果是这样，用语言来说，什么 是在说吗？

我认为你的递归关系所说的是，对于以“n”为参数的“r”函数（表示您输入的数据集的总数），无论您在第 n 个位置得到什么数据集是第 n-1 个位置的输出加上第 n-2 个位置的结果的两倍，没有进行非递归工作。当您尝试解决递归关系时，您是在尝试以不涉及递归的方式表达它。

但是，我认为这不是主定理方法的正确形式。您的陈述是“具有恒定系数的二阶线性递推关系”。显然，根据我的旧离散数学教科书，这是解决递归关系所需的形式。

这是他们提供的表格：

r(n) = a*r(n-1) + b*r(n-2) + f(n)

因为 'a' 和 'b' 是一些常数，而 f(n) 是 n 的一些函数。在您的陈述中，a = 1、b = 2 和 f(n) = 0。只要 f(n) 等于零，递归关系就称为“同质”。所以，你的表达是同质的。

我不认为您可以使用主方法定理解决齐次递推关系，因为 f(n) = 0。主方法定理的所有情况都不允许这样做，因为 n 的幂-任何东西都不能等于零。我可能是错的，因为我不是这方面的专家，但我不认为可以使用主方法解决齐次递归关系。

我认为解决齐次递推关系的方法是通过 5 个步骤：

1) 形成特征方程，其形式为：

x^k - c[1]*x^k-1 - c[2]*x^k-2 - ... - c[k-1]*x - c[k] = 0

如果您的齐次递归关系中只有 2 个递归实例，那么您只需将方程更改为二次方程，其中

x^2 - a*x - b = 0

这是因为形式的递归关系

r(n) = a*r(n-1) + b*r(n-2)

可以改写为

r(n) - a*r(n-1) - b*r(n-2) = 0

2) 将递推关系改写为特征方程后，接下来求特征方程的根（x[1] 和 x[2]）。

3) 有了您的根，您的解决方案现在将是以下两种形式之一：

if x[1]!=x[2]
    c[1]*x[1]^n + c[2]*x[2]^n
else
    c[1]*x[1]^n + n*c[2]*x[2]^n

当 n>2 时。 4) 使用递归解决方案的新形式，您可以使用初始条件（r(1) 和 r(2)）找到 c[1] 和 c[2]

按照你的例子，我们得到了：

1) r(n) = 1*r(n-1) + 2*r(n-2) => x^2 - x - 2 = 0

2) 求解 x

x = (-1 +- sqrt(-1^2 - 4(1)(-2)))/2(1)

    x[1] = ((-1 + 3)/2) = 1
    x[2] = ((-1 - 3)/2) = -2

3) 由于 x[1] != x[2]，您的解决方案具有以下形式：

c[1](x[1])^n + c[2](x[2])^n

4) 现在，使用您的初始条件找到两个常数 c[1] 和 c[2]：

c[1](1)^1 + c[2](-2)^1 = 1
c[1](1)^2 + c[2](-2)^2 = 1

老实说，我不确定在这种情况下你的常量是什么，我在这一点上停了下来。我猜你必须插入数字，直到你以某种方式得到 c[1] 和 c[2] 的值，这两个值都满足这两个表达式。要么对矩阵 C 执行行缩减，其中 C 等于：

[ 1 1   | 1 ]
[ 1 2   | 1 ] 

扎卡里：

以最佳方式描述的复发 方式加法运算次数 在下面的程序片段中 （当使用 l == 1 和 r == n 调用时）

int example(A, int l, int r) 
  if (l == r)
    return 2;
  return (A[l] + example(A, l+1, r);

这是给定代码的时间复杂度值，当 r>l:

int example(A, int l, int r)       =>  T(r) = 0
  if (l == r)               =>  T(r) = 1
    return 2;               =>  T(r) = 1
  return (A[l] + example(A, l+1, r);    =>  T(r) = 1 + T(r-(l+1))


Total:                      T(r) = 3 + T(r-(l+1))

否则，当 r==l 时，T(r) = 2，因为 if 语句和 return 每次执行都需要 1 步。

【参考方案3】：

您的方法，使用递归函数在代码中编写，如下所示：

function r(int n) 

  if (n == 2) return 1;
  if (n == 1) return 1;
  return 2 * r(n-2) + r(n-1);  // I guess we're assuming n > 2

我不确定“递归”是什么，但递归函数只是一个调用自身的函数。

递归函数需要一个转义子句（一些非递归的情况——例如，“if n==1 return 1”）来防止堆栈溢出错误（即，函数被调用太多以至于解释器耗尽内存或其他资源）

【讨论】：

好吧，这看起来很简单。我也不完全确定“复发”是什么，但我的教授经常使用这个词，并且练习测试中的几个问题要求我们查看一个程序，然后找到它。我会用另一个例子来编辑我的问题。

【参考方案4】：

一个可以实现的简单程序如下所示：

public int r(int input) 
    if (input == 1 || input == 2) 
        return 1;
     else 
        return 2 * r(input - 2) + r(input -1)
    

您还需要确保输入不会导致无限递归，例如，如果开始时的输入小于 1。如果这不是有效情况，则返回错误，如果有效，然后返回适当的值。

【参考方案5】：

“我也不确定‘复发’是什么”

“递归关系”的定义是“其域是一些无限的整数集，其范围是一组实数”的数字序列。附加条件是描述这个序列的函数“根据前一个成员定义序列的一个成员”。

而且，我认为，解决这些问题的目的是从递归定义变为非递归定义。假设你有 T(0) = 2 和 T(n) = 2 + T(n-1) 对于所有 n>0，你必须从表达式“T(n) = 2 + T(n -1)" 到像 "2n+2" 这样的一个。

来源： 1) “带有图论的离散数学 - 第二版”，作者 Edgar G. Goodair 和 Michael M. Parmenter 2) Ellis Horowitz、Sartaj Sahni 和 Sanguthevar Rajasekaran 撰写的“计算机算法 C++”。