全国高中联赛的数学建模小论文。。。

Posted 2023-04-24

要写全国高中联赛的数学建模小论文，感觉没有思路，想先找问题，但我觉得我找的问题没什么新意，肿么办？找问题的方面。。。

数学的色彩
清晨，鲜红的太阳露出半个笑脸，和谐的阳光洒满人间，我的心情真是好极了。突然接到爷爷的电话，叫我巧算九块五加九十九块五，我马上告诉爷爷：九加九十九，再加一，不就等于一百零九吗？爷爷说我的算法还不算巧，如果凑整减零头就好算得多。我马上打断爷爷的话，告诉他：10+100-1=109（元）。这时爷爷夸我，说我还算灵巧。这是早晨的数学题，我把数学定为红色。
上午，爸爸从银行交完电费回来，叫我计算电费。用电量是从1079-1279（度），每度电单价是0.38元，我用心算整好200度，我把单价变为分数是38/100，列式：200×（38/100），先约分再乘，等于76元。爸爸说没错，和电脑算得一样。我很得意，这时已近中午，我把数学定为黄色。
下午，我和妹妹在家里切西瓜，把半个西瓜再均匀地切两刀，其中的两份就是2/3，我问妹妹这两份是整个西瓜的几分之几呢？妹妹开学才上一年级，当然不会算，我告诉她把西瓜整体看作1，第一分率是1/2，它的分率是2/3，相乘的结果就是这两份是整个西瓜的2/6，约分后就是1/3。这时我想爷爷曾说七色阳光为白色，那么，这个数学就定为白色吧。
夜晚在蓝色的星空下，我和妈妈在一起看电视，我怎么也弄不懂考古学家是怎样从腿骨的化石推算出大艾尔恐龙的身高呢？妈妈说这蓝色的数学等你长大了，本事大了自然就会了。
生活中的数学简直是太多了，真是绚丽多彩，它随时在你身边出现。我爱数学，我要学好数学。 参考技术A 我在网上看了一些别人的优秀论文，有的能看懂，有的甚至连看都看不懂。。。我想问一下，别人论文中的一些函数与数据我可以借用吗？而且我对于我要研究的这一课题有一点无从下手的感觉，希望有经验的学长们给我一点宝贵的建议，谢谢啦！
我想探究的是 洗衣机的省水问题本回答被提问者和网友采纳 参考技术B 喝喝酒ihkjk

腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-8

 

课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课）

 

1. 当 $x$ 为何值时, $x+5$, $x + 2$, $x - 1$, $x - 4$ 的积不大于 $-80$?

解答: $$(x + 5)(x + 2)(x - 1)(x - 4) \le-80 \Rightarrow (x^2 + x - 20)(x^2 + x - 2) + 80 \le 0$$ $$\Rightarrow (x^2 + x)^2 - 22(x^2 + x) + 120 \le 0 \Rightarrow (x^2 + x - 10)(x^2 + x - 12) \le 0$$ $$\Rightarrow \left(x - {-1 + \sqrt{41} \over 2}\right)\left(x - {-1 - \sqrt{41} \over 2}\right)(x + 4)(x - 3) \le 0$$ $$\Rightarrow x \in \left[-4, {-1 - \sqrt{41} \over 2}\right] \cup \left[{-1 + \sqrt{41} \over 2}, 3\right].$$

 

2. 求 $k$ 的取值范围, 使得下列不等式恒成立 $${2x^2 + 2kx + k \over 4x^2 + 6x + 3} < 1.$$ 解答: $${2x^2 + 2kx + k \over 4x^2 + 6x + 3} < 1 \Rightarrow 2x^2 + 2kx + k < 4x^2 + 6x + 3$$ $$2x^2 + (6 - 2k)x + (3 - k) > 0 \Rightarrow \Delta = (6 - 2k)^2 - 8(3 - k) < 0$$ $$\Rightarrow 4k^2 - 16k + 12 < 0 \Rightarrow k^2 - 4k + 3 < 0$$ $$ \Rightarrow k\in (1, 3).$$

 

3. 解关于 $x$ 的不等式: $$x^{\log_ax} > {x^{9\over2} \over a^2}$$ 其中 $a > 0$, $a \ne 1$.

解答:

令 $\log_ax = t$, 则 $$x^t > {x^{9\over2} \over a^2} \Rightarrow x^{t - {9\over2}} > a^{-2}$$ $a > 1$ 时, $$\log_ax^{t - {9\over2}} > -2 \Rightarrow t\left(t - {9\over2}\right) > -2$$ $$\Rightarrow 2t^2 - 9t + 4 > 0 \Rightarrow t < {1\over2},\ t > 4$$ $$\Rightarrow \log_ax < {1\over2},\ \log_ax > 4$$ $$\Rightarrow x \in\left(0, a^{1\over2}\right)\cup\left(a^4, +\infty\right).$$ $0 < a < 1$ 时, $$\log_ax^{t - {9\over2}} < -2 \Rightarrow t\left(t - {9\over2}\right) < -2$$ $$\Rightarrow 2t^2 - 9t + 4 < 0 \Rightarrow {1\over2} < t < 4$$ $$\Rightarrow {1\over2} < \log_ax < 4$$ $$\Rightarrow x \in\left(a^4, a^{1\over2}\right).$$ 综上, 不等式的解集为 $$\begin{cases} x \in\left(0, a^{1\over2}\right)\cup\left(a^4, +\infty\right),\ (a > 1)\\ x \in\left(a^4, a^{1\over2}\right),\ (0 < a < 1)\end{cases}$$

 

4. 解不等式: $${1\over 2^x - 1} > {1 \over 1 - 2^{x - 1}}.$$ 解答:

令 $2^x = t$, 则 $${1\over t-1} > {1\over 1 - {1\over2}t} \Rightarrow {1 \over t - 1} > {2 \over 2 - t} \Rightarrow {1\over t - 1} + {2 \over t - 2} > 0$$ $$\Rightarrow {3t-4 \over (t - 1)(t - 2)} > 0 \Rightarrow (3t - 4)(t - 1)(t - 2) > 0 \Rightarrow 1 < t < {4\over3},\ t > 2$$ $$\Rightarrow 1 < 2^x < {4\over3},\ 2^x > 2 \Rightarrow x\in\left(0, 2 - \log_23\right) \cup (1, +\infty).$$

 

5. 设 $a$ 是正常数, 解不等式: $$2^{3x} - 2^x < a(2^x - 2^{-x}).$$ 解答:

令 $2^x = t$, 则 $$t^3 - t < a\left(t - {1\over t}\right) \Rightarrow t^4 - t^2 < a(t^2 - 1) \Rightarrow (t^2 - a)(t - 1)(t + 1) < 0$$ $a = 1$ 时, $$(t+1)^2(t-1)^2 < 0 \Rightarrow t\in\phi.$$ $a > 1$ 时, $$(t + \sqrt{a})(t - \sqrt{a})(t + 1)(t - 1) < 0 \Rightarrow -\sqrt{a} < t < -1,\ 1 < t < \sqrt{a}$$ $$1 < 2^x < \sqrt{a} \Rightarrow 0 < x < {1\over2}\log_2a.$$ $0 < a < 1$ 时, $$(t + \sqrt{a})(t - \sqrt{a})(t + 1)(t - 1) < 0 \Rightarrow -1 < t < -\sqrt{a},\ \sqrt{a} < t < 1$$ $$\sqrt{a} < 2^x < 1 \Rightarrow {1\over2}\log_2a < x < 0.$$ 综上, $$\begin{cases}x\in\phi,\ (a = 1)\\ 0 < x < {1\over2}\log_2a,\ (a > 1)\\ {1\over2}\log_2a < x < 0,\ (0 < a < 1)\end{cases}$$

 

6. 在直角坐标平面上求满足不等式 $$2 - x^2 - y^2 - \sqrt{(1 - x^2)^2 + (1 + y^2)^2} > 0$$ 的点集 $(x, y)$.

解答: $$\left(1 - x^2\right) + \left(1 - y^2\right) > \sqrt{(1 - x^2)^2 + (1 + y^2)^2} \ge 0$$ $$\Rightarrow \left[\left(1 - x^2\right) + \left(1 - y^2\right)\right]^2 > (1 - x^2)^2 + (1 + y^2)^2$$ $$\Rightarrow \begin{cases}\left(1 - x^2\right) + \left(1 - y^2\right) > 0\\ \left(1 - x^2\right)\left(1 - y^2\right) > 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}1 - x^2 > 0\\ 1 - y^2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}|x| < 1\\ |y| < 1 \end{cases}$$ 即满足题意的点集 $(x, y)$ 是位于正方形 $-1 < x < 1$, $-1 < y < 1$ 之内点.

 

 

7. 解不等式: $$10^{\lg^2x} + x^{\lg{1\over x}} + {1\over \sqrt{y - y^2}} \le 2\sqrt2(\sin\pi z + \cos\pi z).$$ 解答:

与例题类似处理方法. $$\begin{cases}10^{\lg^2x} + x^{\lg{1\over x}} = x^{\lg x} + x^{-\lg x} \ge 2\\ y-y^2 = y(1 - y) \le \left({y + 1-y \over 2}\right)^2 = {1\over 4}\Rightarrow {1\over\sqrt{y - y^2}} \ge 2\\ 2\sqrt2(\sin\pi z + \cos\pi z) \le 2\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 4\end{cases}$$ 因此上述不等式均取等号. $$\begin{cases}x = 1\\ y = {1\over2}\\ z = 2k + {1\over4},\ (k\in\mathbf{Z})\end{cases}$$

 

8. 解关于 $x$ 的不等式: $$\sqrt{a^2 - 2x^2} > x + a.$$ 解答:

分类讨论.

$x + a < 0$ 时, $$\begin{cases}x + a <0\\ a^2 - 2x^2 \ge 0\Rightarrow x^2 \le {1\over2}a^2 \end{cases}$$ 若 $a = 0$, 则无解.

若 $a > 0$, 则 $$\begin{cases}x < -a\\ -{\sqrt2 \over 2}a \le x \le {\sqrt2\over2}a\end{cases} \Rightarrow x\in\phi$$ 若 $a < 0$, 则 $$\begin{cases}x < -a\\ {\sqrt2 \over 2}a \le x \le -{\sqrt2\over2}a\end{cases} \Rightarrow x\in\left[{\sqrt2\over2}a, -{\sqrt2\over2}a\right]$$ $x + a \ge 0$ 时, $$\begin{cases}x + a \ge 0\\ a^2 - 2x^2 \ge 0\\ a^2 - 2x^2 > (x + a)^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x \ge -a\\ x^2 \le {1\over2}a^2\\ 3x^2+2ax < 0 \Rightarrow x(3x + 2a) < 0\end{cases}$$ 若 $a = 0$, 则无解.

若 $a > 0$, 则 $$\begin{cases}x \ge -a\\ -{\sqrt2 \over 2}a \le x \le {\sqrt2\over2}a\\ -{2\over3}a < x < 0\end{cases} \Rightarrow x \in \left(-{2\over3}a, 0\right)$$ 若 $a < 0$, 则 $$\begin{cases}x \ge -a\\ {\sqrt2 \over 2}a \le x \le -{\sqrt2\over2}a\\ 0 < x < -{2\over3}a\end{cases} \Rightarrow x \in \phi$$ 综上, $$\begin{cases} x \in \left(-{2\over3}a, 0\right),\ (a > 0)\\ x\in\left[{\sqrt2\over2}a, -{\sqrt2\over2}a\right],\ (a < 0)\\ x\in\phi,\ (a = 0)\end{cases}$$