Android UI贝塞尔曲线 ⑤ ( 德卡斯特里奥算法 | 贝塞尔曲线递推公式 )

Posted 2022-08-08 韩曙亮

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Android UI贝塞尔曲线 ⑤ ( 德卡斯特里奥算法 | 贝塞尔曲线递推公式 )相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

贝塞尔曲线参考 : https://github.com/venshine/BezierMaker

一、德卡斯特里奥算法

贝塞尔曲线的三阶 / 四阶 / 五阶曲线的绘制 , 都是依赖于其低阶贝塞尔曲线实现的 ,

三阶贝塞尔曲线是由二阶贝塞尔曲线实现的 ,

四阶贝塞尔曲线是由三阶贝塞尔曲线实现的 ;

德卡斯特里奥算法可以实现贝塞尔曲线降阶的效果 ;

下面开始介绍德卡斯特里奥算法 ;

在向量 $A B$ 上选择 $C$ 点 ,

$C$ 点将 $A B$ 向量切割成比例为 $u : 1 - u$ ,

也就是 $A$ 到 $C$ 的距离 $∣ A C ∣$ , 与 $A$ 到 $B$ 的距离 $∣ A B ∣$ , 其比值为 $u$ , 写成公式就是如下形式 :

$∣ A C ∣ : ∣ A B ∣ = u$

$A$ 到 $B$ 的距离 $∣ A B ∣$ 全长为 $1$ ,

$A$ 到 $C$ 的距离 $∣ A C ∣$ 比例占到全长的 $u$ , $u$ 的取值范围是 $0$ ~ $1$ 之间的浮点值 ,

$C$ 到 $B$ 的距离 $∣ CB ∣$ 比例占到全长的 $1 - u$ ;

再回到贝塞尔曲线中 ,

上图是 $P_0$ 到 $P_2$ 的二阶贝塞尔曲线 , $P_0$ 是起始点 , $P_2$ 是终止点 , $P_1$ 是控制点 ;

首先通过一阶等式 , 在 $P_0$ 到 $P_1$ 之间确定出 $P_0^1$ 点 , $P_0$ 到 $P_0^1$ 点占整个 $P_0$ 到 $P_1$ 的比例为 $u$ ;

然后通过一阶等式 , 在 $P_1$ 到 $P_2$ 之间确定出 $P_1^1$ 点 , $P_1$ 到 $P_1^1$ 点占整个 $P_1$ 到 $P_2$ 的比例为 $u$ ;

最后通过一阶等式 , 在 $P_0^1$ 到 $P_1^1$ 之间确定出 $P_0^2$ 点 , $P_0^1$ 到 $P_0^2$ 点占整个 $P_0^1$ 到 $P_1^1$ 的比例为 $u$ ;

最终得到如下等式 :

$\\cfracP_0P_0^1P_0^1P_1 = \\cfracP_1P_1^1P_1^1P_2 = \\cfracP_0^1P_0^2P_0^2P_1^1 = u$

当 $u$ 从 $0$ ~ $1$ 进行变化时 , $P_0^2$ 点形成的曲线就是二阶贝塞尔曲线 ;

( 网上找的图片 , 图片中的 $t$ 也就是上面说的比例 $u$ )

二阶贝塞尔曲线中的 $P_0^2$ 点 ,

由起始点 $P_0$ 到控制点 $P_1$ 组成的向量 , 和由控制点 $P_1$