球的表面积公式是怎么推导出来的？

Posted 2021-12-23 zhangjin1120

球的体积公式的推导

球的表面积公式是：

证明方式一：体积求导

基本思路： 可以把半径为R的球，从球心到球表面分成n层，每层厚为 r/n ，像洋葱一样。半径获得增量是△r，体积增加的部分的体积就为△V。
 极限的思想：当△r趋近于零时，球的每层的厚度就薄的像个曲面一样，这部分很薄的体积，除以dr就是球的表面积了。

继续追问：为什么x³求导是3x²？

证明方式二：将球拆成无数个小的四棱锥

如下图：

基本思想： 把整个球体分切成无数的锥体，每一个锥体的底面都是球体表面的一小部分。对球体不断进行分切，每一个锥体的底面越来越小，椎体的高则向球体的半径r趋近。
 具体计算如下：

为什么四棱锥的体积是$\frac{sh}{3}$?

  四棱锥可以看成是两个三菱锥的体积相加。

为什么三棱锥的体积是$\frac{sh}{3}$?

参考： 为什么三棱锥的体积是三棱柱的三分之一？