手工计算对数的方法和对应的C代码

Posted 2021-12-11 dog250

如何手算对数？为简单起见，以$2$为底数演示。

问题：求${\log }_{2}a$的值，其中$a$为已知实数。

由于人们的思维逻辑普遍是线性的，而对数是非线性的，对数需要规模化思维才更好理解，因此将问题转化成求指数会更直观一些：

$2^x=a$，问$a$可以拆成多少$2$的次幂相乘，将幂加起来即可。

下面是过程：

将$a$不断除以2，一直到除不尽余$b$：

$2^x=a=2^1{2}^1{2}^1{2}^{1}b$

$b$比$2$小，它如何写成$2$的次幂呢？

由于指数函数$f(x)=2^x$递增步长是$2$的次幂，$b$是$2$的$\alpha$次幂，等价于$b^2$是$2$的$\frac{\alpha }{2}$次幂，这样如果$b^2$大于$2$，就可以递归了。

显然$b=(b^2{)}^{\frac{1}{2}}$，设$b^2=c$，则类似$a$拆分$c$：

$c=2^1{2}^{1}d$

显然$d=(d^2{)}^{\frac{1}{2}}$，设$d^2=e$，则类似$a$拆分$e$：

…

这是一个递归的手算对数的最简单方法，不用查表，不需要任何高数知识。

若底数不是$2$，假设是$A$，则：

$A^x=A^1{A}^1..b$

$b=(b^A{)}^{\frac{1}{A}}$

接着递归处理$b^A$即可。

下面是一个按照上述的手算步骤写的C代码，可求任意底数的对数：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

double logarithm(int i, double temp, double base, double num, int acc)
{
        if (acc == 1)
                return 0;
        if (num >= base) {
                return 1 + logarithm(0, 1, base, num/base, acc-1);
        } else {
                while (i++ < base)  {
                        temp *= num;
                }
                return (1/base)*logarithm(0, 1, base, temp, acc-1);
        }
}

int main(int argc, char **argv)
{
        double base, num, ret;
        int acc = (int)atoi(argv[1]); // 递归层数，表示精度，一般设置100

        base = (double)atoi(argv[2]); // 底数
        num = (double)atoi(argv[3]); // 待求数
        ret = logarithm(0, 1, base, num, acc);
        printf("%.18lf\\n", ret);

}

这篇文章源自于一个朋友在知乎上的问题：
怎么推导或证明 e^x 的导数是自身? - 知乎
我以为：
“$y=e^x$表示在以$x$为增长率的增长极限(比如以$x$为利率的复利极限)，那么在$x$为增长率的时候，$y$的增长最大就是$e^x$，这就是$y$的导数(毕竟导数就是增长率的极限)了，就是它自身了。
$e$是通过$(1+\frac{1}{n}{)}^n$的极限定义出来的，所以直接从那个定义的形式入手去理解即可。”
说实话，将$e$的定义用二项式展开，然后求极限后求导会更像个正经答案，但那只是数学把式，我承认摆置数学把式是笛卡尔方法论的核心用例(在笛卡尔之前，数学无法工程化)，这也是我一再强调和推崇的，但同时我需要有一个直观的解释，而不是单纯比划公式。读历史会发现，任何伟大的公式背后，在一开始都源自于一种直观的直觉，然后在寻求表达时才有了公式，比如伟大的平方反比律。
一直以来，我希望自己的孩子关注两个基本点：
1.培养一种思维习惯，用历史的，跨界的眼光思考问题，关注发展和变化。
2.掌握笛卡尔方法论，将从线索到结论的过程通过一种工程框架串联起来。
这也是我自己一直以来关注的。
当看到一些我平时发布的博客，朋友圈之后，很多人不能理解我为什么能为这么显而易见的简单东西兴奋这么久，我无法反驳，因为这些东西确实简单，但我又可以反驳，因为它们并不是很显而易见，若非老师或者书本告诉你，你自己以为的那部分在哪里？简单的，有多少人可以不用任何四则混合运算知识，将绳子分成5等份？复杂的，如果所有的书籍和记忆消失了，人类有多大的几率比5万年前的原始智人更强？
传统教育让我们注重客观，少说“我以为”，但我以为这是不正确的，智人之跃入文明，全在形而上。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。