洛伦兹曲线如何度量TCP公平性

Posted 2021-11-11 dog250

洛伦兹曲线一般用来描述收入分配，但实际上收入分配只是一个case，所有涉及固定资源分配的case，都可以用洛伦兹曲线来描述，而基于洛伦兹曲线度量公平性的指标，便是基尼指数。

如何理解洛伦兹曲线呢？我给出一个递归构造的方法。

设$n$条流总带宽为单位1，$x_i$为流$i$分配的带宽，很显然${\Sigma }_{k=1}^n{x}_k=1$，将所有流按照带宽从小到大排列，均匀分布在横轴上。纵轴为积累带宽百分比，横轴为积累流数量，下图$P$点的意思是，前$m$条流的总带宽占据带宽总量的百分比为$p$：

如果所有流分配到相同带宽，按照上面的意思，洛伦兹曲线就是一条直线，每条流占据带宽百分比为$p_a$。由于按照带宽从小到大排列，假设所有流中有一个流比其它流的带宽都大，它肯定排在最后一个，它的带宽肯定要占据比均值更大的百分比，设为$p_n$，显然$p_n>p_a$，这意味着其它所有流要均分剩下的$1-p_n$的百分比的带宽：

以上是在假设只有一条流被分配带宽偏大，其余流均分剩余带宽的情况。现在假设剩余$n-1$条流中也有一条流带宽偏大，那么它肯定是第$n-1$条流，和上面的情况类似：

剩下的以此类推。由于是按照带宽分配从小到大排列，总是可以用这种方法递归处理。

我故意放大了比例，方便看出趋势，曲线逐渐下凸。以上的递归过程，很容易得出结论：

• 越往后面的部分斜率越陡，带宽分配越不平均，曲线下凸的越狠。

只有排在后面的流才有更多让曲线下凸的机会，我试着按照上面的方法画第三幅图，但不得不把$p_n$画的更大些，也就是最后面的斜率画的更陡些才能成功，否则斜率越来越趋向于公平曲线，也就很难再制造不公平了，这是关键。

好了，基尼指数是什么呢？设实际洛伦兹曲线与公平洛伦兹曲线围成的面积是$S$，公平洛伦兹曲线和坐标轴围成的面积为$S_A$，基尼指数就是$\frac{S}{S_A}$。

如何构造洛伦兹曲线的表达式呢？需要一个资源分配分布函数，然后去拟合，条件是，曲线的一阶导数表示该点的平均资源分配额，而二阶导数则表示斜率的变化率，事实上二阶导数揭示了不公平的根源：

• 导致斜率变陡的原因，在数学上看，仅仅是因为该点对应的资源分配参与者过少！！

当然了，为什么这里参与者过少，这才是根因，这就不是数学的范畴了。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。