CF1140E Palindrome-less Arrays(巧妙的递推)

Posted 2021-11-08 issue是fw

LINK

题意

一个数组有些位置是$?$,你可以使用$[1,k]$填充

满足最后对于$i\in [1,n-2]$有$a_i!=a_{i+2}$,求方案数

---

我们分成奇数索引构成的数组和偶数索引构成的数组分别考虑

现在设奇数索引构成的数组为$a$,条件限制相当于相邻元素值不能相同.

考虑到$?$可能连成一块,这就变得非常麻烦,其实可以把连续的$?$缩成一个块

设$f[i][0]$表示$?$块长度为$i$,且问号块左右两端的数字不相等的方案,$f[i][1]$表示两端相等

(注意这里的两端不是问号,是最左边问号左边那个确定的数字)

当从$f[i-1][0]$转移来时,形如a -1 -1 -1…c ,在c前面插入一个数字$b$变成$f[i][0]$

形如a -1 -1 -1 … b c,此时$b$有$k-2$种取值

当从$f[i-1][1]$转移来时,形如a -1 -1 -1 … a.在最右边插入最右端的数字$b$(已经被确定)变成a -1 -1 -1 … a b

那么倒数第一个问号只能取$a$

$$f[i][0]=f[i-1][0]\ast (k-2)+f[i-1][1]$$

$f[i][1]$表示两端问号相等的方案

此时$f[i-1][0]$形如a -1 -1 -1… b

考虑在最右边添上一个$a$变成a -1 -1 -1… b a就变成了$f[i][1]$的方案

$$f[i][1]=f[i-1][0]\ast (k-1)$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 3e5+10;
const int mod = 998244353;
int n,k,a[maxn],b[maxn],f[maxn][2];
int quick(int x,int n)
{
	int ans = 1;
	for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )
		if( n&1 )	ans = ans*x%mod;
	return ans;
}
int solve(int a[],int n )
{
	if( !n )	return 1;
	int l = 1, r = n, ans = 0;
	while( l<=n && a[l]==-1 )	l++;
	while( r>=1 && a[r]==-1 )	r--;
	if( l>n )	return quick( k-1,n-1 )*k%mod;
	ans = quick( k-1,l-1 )*quick( k-1,n-r )%mod;
	int las = l;
	for(int i=l+1;i<=r;i++)
	{
		if( a[i]==-1 )	continue;
		else
		{
			ans = ans*f[i-las-1][a[las]==a[i]]%mod;
			las = i;
		}
	}	
	return ans;
}
signed main()
{
	cin >> n >> k;
	f[0][0] = 1, f[0][1] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][1] = f[i-1][0]*(k-1)%mod;
		f[i][0] = ( f[i-1][0]*(k-2)+f[i-1][1] )%mod;
	}
//	cout << f[2][0] << " --- " << f[2][1] << endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x; cin >> x;
		if( i&1 )	a[++a[0]] = x;
		else	b[++b[0]] = x;
	}
	cout << solve( a,a[0] )*solve( b,b[0] )%mod;
}