BZOJ 2142 礼物（拓展Lucas，中国剩余定理）BZOJ修复工程

Posted 2021-10-29 繁凡さん

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

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题目链接

https://hydro.ac/d/bzoj/p/2142

是 hydro 的 BZOJ 修复工程 ！（我也去领了一点题慢慢修着玩，这题就是我修的嘿嘿嘿）

题目描述

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了 $n$ 件礼物，打算送给 $m$ 个人，其中送给第 $i$ 个人礼物数量为 $w_i$ 。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模 $P$ 后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 $P$ ，表示模数；

第二行包含两个整整数 $n$ 和 $m$ ，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；

以下 $m$ 行每行仅包含一个正整数 $w_i$ ，表示小E要送给第 $i$ 个人的礼物数量。

输出格式

若不存在可行方案，则输出 “Impossible” ，否则输出一个整数，表示模 $P$ 后的方案数。

输入样例

100 
4 2 
1
2

输出样例

12

数据规模和约定

设 $P=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times p_3^{c_3}\times \cdots \times p_t^{c_t}$，$p_i$ 为质数。
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^9$，$1\le m\le 5$，$1\le p_i^{c_i}\le 10^5$。

提示

【样例说明】

下面是对样例$1$ 的说明。
以 / 分割，/ 前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。$12$ 种方案详情如下：

1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23 

Solution

一共 $n$ 个礼物，第 $1$ 个人需要 $w_1$ 个礼物，方案数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w_1}{n}\right)$，然后对于第二个人，从剩下的 $n-w_1$ 个礼物中选出 $w_2$ 个礼物送给第二个人，方案数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w_2}{n-w_1}\right)$，一次类推，总方案数根据乘法原理显然为：

$$\prod _{i=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{w_i}{n-\sum _{j=1}^i{w}_j}\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

考虑如何计算。

由于给定的模数 $p$ 不是质数，所以我们需要用拓展Lucas定理计算，然后就是一个拓展lucas的模板题了…

关于拓展Lucas定理：

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e4 + 6;
int n, m, s, t, ans;
int primes[maxn], cnt;
bool vis[maxn];
int v[maxn], M;
ll A, B;
int mod;
int w[maxn];
int r[maxn];

struct mods
{
	int c, p;
	ll pc;
}f[maxn];

ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{
	ll res = 1;
	while(b) {
		if(b & 1) res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if(b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll d = exgcd(b, a % b, x, y);
	ll z = x;
	x = y;
	y = z - y * (a / b);
	return d;
}

inline ll inv(ll a, ll p)
{
	ll x, y;
	exgcd(a, p, x, y);
	return (x + p) % p;
}

//计算 x! 中除掉 val = prime 后模 p 的值
inline ll cal(ll x, ll val, ll p)
{
	if(x == 0) return 1;
	ll res = 1;
	ll last = x % p;
	for (int i = 1; i <= p; ++ i) 
		if(i % val)	
			res = res * i % p;
	res = qpow(res, x / p, p);
	for (ll i = 1; i <= last; ++ i)
		if(i % val) 
			res = res * i % p;
	return res * cal(x / val, val, p) % p;
}
 
inline ll C(ll n, ll m, ll p, ll pc)
{
	if(m > n) return 0;
	ll k = 0;
	ll up = cal(n, p, pc);
	ll down1 = cal(m, p, pc);
	ll down2 = cal(n - m, p, pc);
	
	for (int i = n; i; i /= p) k += i / p;
	for (int i = m; i; i /= p) k -= i / p;
	for (int i = n - m; i; i /= p) k -= i / p; 
	
	return up * inv(down1, pc) % pc * inv(down2, pc) % pc * qpow(p, k, pc) % pc;
}

inline ll CRT(int cnt)
{
	ll m = mod, M[maxn] = {}, t[maxn] = {}, res = 0;
	for (int i = 1; i <= cnt; ++ i)
		M[i] = m / f[i].pc; 
	for (int i = 1; i <= cnt; ++ i) {
		ll y; 
		exgcd(M[i], f[i].pc, t[i], y); 
		res = (res + r[i] % m * M[i] % m * t[i] % m) % m; 
	}
	return (res % m + m) % m;
}

inline ll exlucas(ll A, ll B)
{
	memset(f, 0, sizeof f);
	memset(r, 0, sizeof r);
	int x = mod, cnt = 0;
	for (ll i = 2; i * i <= x; ++ i) {
		if(x % i == 0) {
			f[ ++ cnt].p = i;
			f[cnt].pc = 1;
			while(x % i == 0) {
				x /= i;
				f[cnt].c ++ ;
				f[cnt].pc *= i;
			} 
			r[cnt] = C(A, B, f[cnt].p, f[cnt].pc);
		}
	}
	if(x > 1) {
		f[ ++ cnt].p = x;
		f[cnt].c = 1;
		f[cnt].pc = x; 
		r以上是关于BZOJ 2142 礼物（拓展Lucas，中国剩余定理）BZOJ修复工程的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 BZOJ2142 礼物
 BZOJ 2142 礼物 数论
 bzoj2142: 礼物
 bzoj 2142: 礼物中国剩余定理+组合数学
 [BZOJ2142]礼物(扩展Lucas)
 BZOJ2142 礼物 扩展Lucas