Luogu P5556 圣剑护符（线性基，树链剖分，线段树）

Posted 2021-10-29 繁凡さん

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Problem

小L 和 小K 面前的圣剑由 $n$ 块护符组成，分别编号为 $1,2,\dots ,n$ ，有 $n-1$ 条咒力线连接两块护符，形成了一个树形结构。

经过 小L 和 小K 的长时间的研究，他们发现护符之间的相互作用并不复杂。每块护符都有一个属性值，第 $i$ 块护符的属性值记为 $v_i$ 。这个值的每个二进制位上的 $0$ 或 $1$ 表示这块护符是否拥有特定属性。所有属性值中相同的二进制位对应的是相同的属性。

对于一系列护符（护符的集合），对于每种特定属性，统计其中包含这一属性的护符数量，如果为偶数，则这一系列护符形成了干涉，最终的属性值对应的二进制位上为 $0$ ，如果为奇数则干涉后剩下了一块护符的影响，对应的二进制位为 $1$ 。也就是说， 护符集合的属性值为单个护符的属性值的异或和 。 空集的属性值定义为 $0$ 。

现在，小L想知道，如果取出两块护符 $x,y$ 间的简单路径上的所有护符，能否找到两个不相等的子集，使得两个子集的属性值相同（注意到空集也是路径上所有护符集合的子集）。同时，小K会将两块护符间的路径上的所有护符取出进行调整，将所有这些护符的属性值在某些相同二进制位上进行修改（即 $0$ 变为 $1$ ，$1$ 变为 $0$ ），可以看做是将所有这些护符的属性值异或上了一个值。

$1\le n,q\le 10^5,1\le x,y\le n,0\le v_i,z<2^{30}$

Solution

题目比较长，简而言之就是对于任意路径，看做一个数列，我们可以从中选取两个子集，这两个子集的异或和相等，我们显然可以将这两个异或和相等的自己再次异或，得到一个异或和为 $0$ 的子集，由于路径上一定存在空集，空集异或和为 $0$ ，该异或和为 $0$ 的子集就与空集配对，输出 YES，也就是说题目所求是，是否存在一个非空子集，且该子集的异或和为 $0$ 。

考虑求异或和显然可以使用线性基。我们对于一条路径，我们可以求出它的线性基，就可以快速求得他们能够异或得到的值。

对于路径上的值，一个一个添加至线性基中，对于当前的值 $v_x$，若加入后出现某子集的异或和为 $0$，说明加入 $v_x$ 前的线性基可以异或线性表出 $v_x$，此时我们使用线性基 insert $v_x$ 就会失败，直接输出 YES 即可。

考虑树上路径问题，以及路径修改问题，可以使用树链剖分 + 线段树解决，但是发现时间复杂度为 $O(n{\log }^{5}v)$，考虑能否优化。

我们发现输入的数据 $v_i\le 2^{30}$，也就意味着线性基的维度不超过 $30$，假设一条路径上有 $num\ge 30$ 个点，每次插入一个点，假设他们都线性无关，也最多能插入 $30$ 个点，超过 $30$ 个点，开始的 $30$ 个点由于线性无关组成了线性基，新加入的点一定能够被线性表出，直接输出 YES 即可。若前面插入的并不是全部线性无关，显然也直接输出 YES 即可。

因此我们只需要在路径长度小于 $30$ 的时候暴力做树链剖分，大于 $30$ 的时候直接输出 YES 即可。

时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e5 + 7, maxm = maxn << 1 | 7;

int n, m, s, t, ans;
int head[maxn], edge[maxm], nex[maxm], ver[maxm], tot;
int hson[maxn];
int depth[maxn];
int siz[maxn];
int fa[maxn];
int dfn[maxn], idx; 
int a_after[maxn];
int top[maxn];
int id[maxn];
bool flag;
bool vis[maxn];
int v[maxn];
int q;

struct Segment_tree
{
	struct Tree
	{
		int l, r, num, laz;
	}tr[maxn << 2];
	
	void pushdown(int p)
	{
		if(tr[p].laz) {
			tr[p << 1].laz ^= tr[p].laz;
			tr[p << 1].num ^= tr[p].laz;
			tr[p << 1 | 1].laz ^= tr[p].laz;
			tr[p << 1 | 1].num ^= tr[p].laz;
			tr[p].laz = 0;
		}
	}
	
	void modify(int p, int l, int r, int v)
	{
		if(tr[p].l > r || tr[p].r < l) return ;
		if(tr[p].l >= l && tr[p].r <= r) {
			tr[p].num ^= v;
			tr[p].laz ^= v;
			return ;
		}
		pushdown(p);
		modify(p << 1, l, r, v);
		modify(p << 1 | 1, l, r, v);
	}
	
	int query(int p, int pos)
	{
		if(tr[p].l == tr[p].r) return tr[p].num;
		pushdown(p);
		int mid = tr[p].l + tr[p].r >> 1;
		if(pos <= mid) return query(p << 1, pos);
		return query(p << 1 | 1, pos);
	}
	
	void print(int p)
	{
		if(tr[p].l == tr[p].r) printf("%d ", tr[p].num);
		else {
			pushdown(p);
			print(p << 1);
			print(p << 1 | 1);
		}
	}
	
	void build(int p, int l, int r)
	{
		tr[p].l = l, tr[p].r = r;
		tr[p].num = 0, tr[p].laz = 0;
		if(l == r) return ;
		int mid = l + r >> 1;
		build(p << 1, l, mid);
		build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
	}
}ST;

void add(int x, int y)
{
	ver[tot] = y;
	nex[tot] = head[x];
	head[x] = tot ++ ;
}

void dfs1(int x, int father, int depths)
{
	siz[x] = 1;
	fa[x] = father;
	depth[x] = depths;
	int max_son_size = -1;
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {
		int y = ver[i];
		if(y == father) continue;
		dfs1(y, x, depths + 1);
		siz[x] += siz[y];
		if(siz[y] > max_son_size)
			hson[x] = y, max_son_size = siz[y];
	}
}

void dfs2(int x, int topfa)
{
	dfn[x] = ++ idx;
	id[idx] = x;
	a_after[idx] = v[x];
	top[x] = topfa;
	
	ST.modify(1, idx, idx, v[x]);
	if(hson[x] == 0) return ;
	dfs2(hson[x], topfa);
	for (int i = head[x]; ~i; i = nex[i]) {
		int y = ver[i];
		if(y == fa[x] || y == hson[x]) continue;
		dfs2(y, y);
	}
}

int get_lca(int x, int y)
{
	while(top[x] != top[y]) {
		if(depth[top[x]] > depth[top[y]])
			x = fa[top[x]];
		else y = fa[top[y]];
	}
	if(depth[x] < depth[y]) return x;
	return y;
}

struct leaner_basis 
{
	int b[31];
	void init() {
		memset(b, 0, sizeof b);
	}
	bool insert(int x) {
		for(int i = 31 - 1;i >= 0; -- i){
			if((x & (1 << i)) == 0)
				continue;
			if(b[i] == 0){
				b[i] = x;
				return true;
			}
			x ^= b[i];
		}
		return false;
	}
}B;

bool work(int lca, int x, int y)
{
	B.init();
	if(B.insert(ST.query(1, dfn[lca])) == 0)
		return true; 
	while(x != lca) 
		if(B.insert(ST.query(1, dfn[x])) == 0) 
			return true;
		else x = fa[x];
	while(y != lca) 
		if(B.insert(ST.query(1, dfn[y])) == 0) 
			return true;
		else y = fa[y以上是关于Luogu P5556 圣剑护符（线性基，树链剖分，线段树）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 BZOJ-4568幸运数字      树链剖分 + 线性基合并
 bzoj 4568: [Scoi2016]幸运数字树链剖分+线段树+线性基
 BZOJ 4568 4568: [Scoi2016]幸运数字 （线性基+树链剖分+线段树）
 树链剖分模板题（luogu3384 模板树链剖分）
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