Luogu P3384 模板树链剖分

Posted 2022-05-06 mogeko

传送门~

树链剖分，顾名思义，就是把树分成链。

通过这个方法，可以优化对树上两点间路径、某一点子树的修改和查询的操作，等。

流程

$dfs1()$

在这个函数中，要处理出每个节点的：

• 深度dep[]
• 父亲fa[]
• 大小siz[]
• 重儿子编号hson[]

一个节点的siz[]，是包括它自己、它的儿子、它儿子的儿子……一共的节点数量。

所谓的重儿子，就是一个节点的儿子中，siz[]最大的那一个。

叶子节点没有儿子，所以也没有重儿子。

这个函数就是普通的遍历整棵树，每到一个点记录dpth[]，siz[]初始值为1。

对于所连的每一条边，标记儿子的fa[]并递归$dfs$，回溯时将子树大小加给父亲的siz[]，并判断是否更新重儿子hson[]。

void dfs1(int u)
    dpth[u] = dpth[fa[u]]+1;
    siz[u] = 1;
    for(int i = head[u];i;i = nxt[i])
        int v = to[i];
        if(v == fa[u])continue;
        fa[v] = u;
        dfs1(v);
        siz[u] += siz[v];
        if(siz[v] > siz[hson[u]]) hson[u] = v;
    

知道了重儿子，如果沿着树走一遍，并且每次都先走重儿子，就可以把整个树拆成从大到小的很多链！

$dfs2()$

在这个函数中，要处理出每个节点的：

• 新编号，也就是先走重儿子的$dfs$序dfn[]
• 新编号对应的原编号point[]
• 所在链的顶端的点top[]

每到一个点，首先直接记录它的dfn[]、point[]、top[]（有点类似father）。

如果没有重儿子，则是叶子节点，直接$return$；

如果有重儿子，则这条链还没有结束，继续递归，top[]不变；

如果除了重儿子还有其他的儿子，则每个轻儿子都是一条新链，继续递归，且新链的top[]是这个轻儿子。

void dfs2(int u,int t)
    dfn[u] = ++cnt;
    point[cnt] = u;
    top[u] = t;
    if(!hson[u])return;
    dfs2(hson[u],t);
    for(int i = head[u];i;i = nxt[i])
        int v = to[i];
        if(v == fa[u] || v == hson[u])continue;
        dfs2(v,v);
    

这样，“链”的部分就算是处理好了$-w-$

接下来，根据新的编号dfn[]，建一棵线段树。

线段树需要的函数：$build$、$pushdown$、$modify$、$query$

 

下面来看需要支持的操作：

1. 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上z
2. 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和
3. 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上z
4. 求以x为根节点的子树内所有节点值之和

树上路径

求树上路径，听起来很像$LCA$……实际上，树链剖分的确可以求出$LCA$。

需要再写两个函数：$getmodify$，$getquery$。这里以查询操作为例。

如果x,y的top[]不同，则它们一定不在同一条链上。

和倍增$LCA$的做法相似，每次将top[]较深，即所在链的顶端比较靠下的节点，跳到它的top[]的父亲，这样就上升到了上边的链。

查询这一段路径的值(dfn[top[x]],dfn[x])，并重复操作，直到x,y在同一条链上为止。

同一链上，深度较小的点一定dfn[]较小，也就是在线段树上的编号较小。通过swap，使较浅的作为x，并查询(dfn[x],dfn[y])

int getquery(int x,int y) 
    int ans = 0;
    while(top[x] != top[y]) 
        if(dpth[top[x]] < dpth[top[y]]) swap(x,y);
        ans += query(dfn[top[x]],dfn[x],1,n,1);
        x = fa[top[x]];
    
    if(dpth[x] > dpth[y]) swap(x,y);
    ans += query(dfn[x],dfn[y],1,n,1);
    return ans;

子树

根据dfs序，可以知道，一棵子树内的序号是连续的。

那么，对应到线段树上，即为(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1)。

 

完整代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
int n,m,rt,opt,x,y,z,mod,cnt;
int to[maxn<<1],head[maxn<<1],nxt[maxn<<1];
long long sum[maxn<<2],lazy[maxn<<2];
int dfn[maxn],dpth[maxn],siz[maxn],hson[maxn],fa[maxn],top[maxn],point[maxn];
long long w[maxn];

void add(int x,int y) 
    to[++cnt] = y;
    nxt[cnt] = head[x];
    head[x] = cnt;


void dfs1(int u) 
    dpth[u] = dpth[fa[u]]+1;
    siz[u] = 1;
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) 
        int v = to[i];
        if(v == fa[u])continue;
        fa[v] = u;
        dfs1(v);
        siz[u] += siz[v];
        if(siz[v] > siz[hson[u]]) hson[u] = v;
    


void dfs2(int u,int t) 
    dfn[u] = ++cnt;
    point[cnt] = u;
    top[u] = t;
    if(!hson[u])return;
    dfs2(hson[u],t);
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) 
        int v = to[i];
        if(v == fa[u] || v == hson[u])continue;
        dfs2(v,v);
    


void build(int l,int r,int now) 
    if(l == r) 
        sum[now] = w[point[l]] %mod;
        return;
    
    int mid = l+r>>1;
    build(l,mid,now<<1),build(mid+1,r,now<<1|1);
    sum[now] = (sum[now<<1] + sum[now<<1|1]) %mod;


void pushdown(int l,int r,int now) 
    sum[now] += (r-l+1)*lazy[now]%mod;
    (lazy[now<<1] += lazy[now]) %=mod;
    (lazy[now<<1|1] += lazy[now]) %=mod;
    lazy[now] = 0;


void modify(int L,int R,int l,int r,int c,int now) 
    if(L == l && R == r) 
        lazy[now] += c;
        return;
    
    (sum[now] += (R-L+1)*c ) %=mod;
    int mid = l+r>>1;
    if(R <= mid) modify(L,R,l,mid,c,now<<1);
    else if(L >= mid+1) modify(L,R,mid+1,r,c,now<<1|1);
    else modify(L,mid,l,mid,c,now<<1),modify(mid+1,R,mid+1,r,c,now<<1|1);


long long query(int L,int R,int l,int r,int now) 
    if(L == l && R == r) 
        return (sum[now]+lazy[now]*(r-l+1))%mod;
    
    pushdown(l,r,now);
    int mid = l+r>>1;
    if(R <= mid) return query(L,R,l,mid,now<<1);
    else if(L >= mid+1) return query(L,R,mid+1,r,now<<1|1);
    else return (query(L,mid,l,mid,now<<1) + query(mid+1,R,mid+1,r,now<<1|1)) %mod;


void getmodify(int x,int y,int c) 
    while(top[x] != top[y]) 
        if(dpth[top[x]] < dpth[top[y]]) swap(x,y);
        modify(dfn[top[x]],dfn[x],1,n,c,1);
        x = fa[top[x]];
    
    if(dpth[x] > dpth[y]) swap(x,y);
    modify(dfn[x],dfn[y],1,n,c,1);


long long getquery(int x,int y) 
    long long ans = 0;
    while(top[x] != top[y]) 
        if(dpth[top[x]] < dpth[top[y]]) swap(x,y);
        (ans += query(dfn[top[x]],dfn[x],1,n,1)) %=mod;
        x = fa[top[x]];
    
    if(dpth[x] > dpth[y]) swap(x,y);
    (ans += query(dfn[x],dfn[y],1,n,1)) %=mod;
    return ans;


int main() 
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&rt,&mod);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld",&w[i]);
    for(int i = 1; i <= n-1; i++) 
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
    
    cnt = 0;
    dfs1(rt),dfs2(rt,rt);
    build(1,n,1);
    for(int i = 1; i <= m; i++) 
        scanf("%d",&opt);
        if(opt == 1) 
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            getmodify(x,y,z%mod);
        
        if(opt == 2) 
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%lld\n",getquery(x,y));
        
        if(opt == 3) 
            scanf("%d%d",&x,&z);
            modify(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,1,n,z%mod,1);
        
        if(opt == 4) 
            scanf("%d",&x);
            printf("%lld\n",query(dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,1,n,1));
        
    
    return 0;

View Code