详解线性判别分析(LDA)

Posted 2021-10-23 yellowTvT

目录

LDA基本思想：

投影的定义

同类投影点的接近

异类样本点的远离

找到一条直线（转为最优化）

类内散度矩阵与类间散度矩阵

目标函数对​欧米伽大小的无关性

拉格朗日乘子法

LDA做法总结

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本文着重于思想的理解与公式的推导~

Linear Discriminant Analysis（LDA）是一种经典的线性学习方法，亦称“Fisher判别分析法”

注意：本文中的                

• LDA基本思想：

        找到一条直线（低维空间），使得将平面（高维空间）中的样本点投影到直线（低维空间）中，尽量使得同类样本点接近，异类样本点远离，判断新样本：当将新样本投影后，根据其投影后的位置判断其类别。

• 投影的定义

        什么叫样本点投影到直线上：将点（原点指向样本点的向量）投影到直线上，也就是投影到直线的单位方向向量上，不妨设的起点是原点，然后求原点至投影点的距离。

        由向量的点乘可知：是投影长度,i.e.原点至投影点的距离

• 同类投影点的接近

        什么叫同类投影点接近：在一维空间中，我们常常使用方差来刻画样本点偏离平均值的程度。在此处，因为已经对样本点进行投影，将每个样本点降维成了一个实数，因此就是对投影求方差，就能刻画投影点偏离样本中心点的投影的程度，也就刻画了“接近”，即投影的方差越小越接近。i.e.越小，同类样本点越接近。

注意到西瓜书内使用的是：刻画接近，其本质上是相等的，下面给出公式推导：

对于有如下变形：

       

 

对于有如下变形：

可以验证的是：(1)=(2)

到此，证明了，即样本之间的协方差本质上就是样本点投影的方差。

• 异类样本点的远离

        什么叫异类样本点的远离：在一维空间中，我们使用样本差的绝对值刻画距离，在此处，为了刻画一类样本点的远离，也即是求不同类别样本点之间的距离，距离越大越“远离”，但是不同类别的样本点很多，因此此处只需求异类样本中心点之间的距离就好，也就是异类样本中心点投影的差的绝对值：，为了去除绝对值这样的不光滑的函数我们采用二次函数代替绝对值，也就是 越大，越远离。

此处的是第0类的样本中心点，是第1类的样本中心点。后文也将这样表述。

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• 找到一条直线（转为最优化）

        什么叫找到一条直线：根据LDA思想，也就是找到这样的直线，使得样本点投影到直线之后，同类样本点接近，异类样本点远离。其实已经化成了一个最优化问题：

类内散度矩阵与类间散度矩阵

为方便计算

定义“类内散度矩阵”：顾名思义，也就是刻画同类样本点之间“接近”程度的矩阵，下标是的首字母。

定义“类间散度矩阵”：顾名思义，也就是刻画异类样本点之间“远离”程度的矩阵，下标是的首字母。

目标函数对欧米伽大小的无关性

 因此该优化问题变为：

该目标函数也称“广义瑞利商”，注意到和都是的矩阵，所以目标函数中的分子与分母都是关于的二次项

不妨设目标函数的形式为：

其中∈

可以化简为：                                       

所以该式与大小无关，只与方向有关（确定之后，的方向也就确定了）

不妨令，最优化问题化简为：(为方便之后的拉格朗日乘子法，将最大目标转换为最小目标)

拉格朗日乘子法

使用拉格朗日乘子法：由偏导为0得到两个等式：

由的定义可知，,即他俩是对称矩阵。

上式子中为拉格朗日乘子

注意到

不妨设

所以与同向，而上面已经证明了原始目标函数与的大小无关，也就是

大小任取，从而长度任取，不妨就令：

现将(3)(4)联立解得：

到此整个LDA就做完了。

LDA做法总结

最后再总结一下LDA的结论：

1. 计算类内散度矩阵的逆矩阵
2. 分别计算两类的样本中心点
3. 计算最终找到的这条直线
4. 将新样本点投影到求得的再判断其类别

如有错漏之处，敬请指正，谢谢！