1451E2 - Bitwise Queries (Hard Version)(交互,思维,位运算猜数组)

Posted 2021-10-22 issue是fw

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先用$n-1$次操作得到所有$a_i\oplus a_{i-1}$

还剩$3$步可以知晓任意一个数,根据异或的性质就能求出其他所有数

考虑到用两次操作可以得到两数之和

$a+b=2\ast (a\&b)+(a\oplus b)$

考虑能否得到三数之和,我们考虑先求出三数之和的两倍

$2\ast (a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(b+c)$

显然可以用六次操作得到这个,于是就知道了$a,b,c$分别是什么

然且当$a,b,c$分别取$a_1,a_2,a_3$,异或值是已经知晓的,只需要询问与

这样一来,刚好操作次数是$(n-1)+3=n+2$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5+10;
int n,e[maxn],a[maxn];
int OR(int l,int r)
{
	cout << "OR " << l << " " << r << endl;
	int x; cin >> x;
	return x;
}
int XOR(int l,int r)
{
	cout << "XOR " << l << " " << r << endl;
	int x; cin >> x;
	return x;	
}
int AND(int l,int r)
{
	cout << "AND " << l << " " << r << endl;
	int x; cin >> x;
	return x;	
}
int main()
{
	cin >> n;
	for(int i=2;i<=n;i++)	e[i] = XOR(i-1,i);
	int xor_ab = e[2], xor_bc = e[3], xor_ac = e[2]^e[3];
	int and_ab = AND(1,2), and_bc = AND( 2,3 ), and_ac = AND( 1,3 );
	int abc = ( 2*( and_ab+and_bc+and_ac )+xor_ab+xor_bc+xor_ac )/2;
	int bc = 2*and_bc+xor_bc;
	a[1] = abc-bc;
	for(int i=2;i<=n;i++)	
	{
		e[i] ^= e[i-1];
		a[i] = e[i]^a[1];
	}
	cout << "! ";
	for(int i=1;i<=n;i++)	cout << a[i] << " ";
}

然后似乎遇到了瓶颈,因为在hard_version中只允许使用$n+1$次操作

上面的解法很难优化,不过还有条件,就是$a_i\in [0,n-1]\&\&n<=2^{16}$(且$n$一定是$2$的整次幂)

我们先询问所有$a_i\oplus a_1$的值,这样只要没有出现两个值相等的情况或者值为零就没有重复数字

令$c_i=a_1\oplus a_i$

分情况讨论

①.若所有数字没有重复,那么必然是一个$[0,n-1]$的排列

此时的异或结果必然恰好是落在$[0,n-1]$

那么我们找到$c_x=1$,说明$a_1$和$a_x$只有最低位不同,我们询问一次$\mathrm{A}\mathrm{N}\mathrm{D}$可以得到除了最低位的答案

我们再找到$c_y=n-2$,说明$a_1$和$a_y$只有最低位相同,我们询问一次$\mathrm{O}\mathrm{R}$可以得到最低位的答案

那么$a_1$求出来就做完了,刚好操作$n+1$次

②.若有重复,又分两种

一是$a_1=a_x$,此时有$c_x=0$,那么询问一次$a_1\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{a}}_{\mathrm{x}}$即可

二是$a_x=a_y$,此时有$c_x=c_y$,此时询问$a_x\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}$可以得到$a_x$的值

那么就可以得到$a_1$的值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e6+10;
int n,e[maxn],a[maxn],vis[maxn];
int OR(int l,int r)
{
	cout << "OR " << l << " " << r << endl;
	int x; cin >> x;
	return x;
}
int XOR(int l,int r)
{
	cout << "XOR " << l << " " << r << endl;
	int x; cin >> x;
	return x;	
}
int AND(int l,int r)
{
	cout << "AND " << l << " " << r << endl;
	int x; cin >> x;
	return x;	
}
int main()
{
	cin >> n;
	for(int i=2;i<=n;i++)	e[i] = XOR以上是关于1451E2 - Bitwise Queries (Hard Version)(交互,思维,位运算猜数组)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 Bitwise And Queries
 Kattis - bitwise Bitwise (RMQ+尺取+树上dfs)
 Python PEG 中 bitwise_or 的目的是啥？
 bitwise_and 输入参数的大小不匹配
 Python OpenCV —— bitwise
 Bitwise Operators