CF1153D神仙DP

Posted 2021-10-09 hesorchen

题目

D. Serval and Rooted Tree

给出一颗有根树，在每个非叶子节点都有一个属性：

• $max$ ： 在所有儿子的权值中取最大值
• $min$ ： 在所有儿子的权值中取最小值

假设这颗树有k个叶子结点，现在你需要对这k个叶子结点赋值[1,k]且两两互不相同。问根结点的最大值可以是多少。

求解

很难用数值直接处理，我们使用排名进行树形dp，排名第1的权值即为k，最低排名的权值即为1。

令$d{p}_u$表示以u为根的子树的所有叶节点中，结点u可以取得的最大值的排名，也即能得的最小排名。

如果u为：

• 叶节点：$d{p}_u=1$
• $max$结点：$d{p}_u=min(d{p}_v)$
• $min$结点：$d{p}_u=\sum d{p}_v$

最后答案就为$k+1-d{p}_1$。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3e5 + 5;

vector<int> mp[N];

int best_rk[N];
int op[N];
int k;
void dfs(int u)
{
    best_rk[u] = op[u] ? 0x3f3f3f3f : 0;
    for (auto v : mp[u])
    {
        dfs(v);
        if (!op[u])
            best_rk[u] += best_rk[v];
        else
            best_rk[u] = min(best_rk[u], best_rk[v]);
    }
    if (best_rk[u] == 0x3f3f3f3f || best_rk[u] == 0)
    {
        best_rk[u] = 1;
        ++k;
    }
}
void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> op[i];
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        int fa;
        cin >> fa;
        mp[fa].emplace_back(i);
    }
    dfs(1);
    cout << k + 1 - best_rk[1] << endl;
}
int main()
{
    solve();
    return 0;
}