Luogu P6055 [RC-02] GCD（莫比乌斯反演，杜教筛）（这题乐死我了，真就图一乐呗）

Posted 2021-10-06 繁凡さん

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Weblink

https://www.luogu.com.cn/problem/P6055

Problem

给出 $N$，求：

$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\sum _{p=1}^{\lfloor \frac{N}{ȷ}\rfloor }\sum _{q=1}^{\lfloor \frac{N}{j}\rfloor }[\gcd (i,j)=1][\gcd (p,q)=1]$$

答案模 $998244353$。

Solution

这题真是乐死我了，真就图一乐呗

上来怎么看这个 $j$ 怎么不顺眼，这不先把 $j$ 直接丢回去 ？？？

然后这题就没了…

随便反演一下，杜教筛随便搞搞就完事了

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\sum _{p=1}^{\lfloor \frac{N}{j}\rfloor }\sum _{q=1}^{\lfloor \frac{N}{j}\rfloor }[\gcd (i,j)=1][\gcd (p,q)=1]\\ & =\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\sum _{p=1}^N\sum _{q=1}^N[\gcd (i,j)=1][\gcd (p,q)=j]\\ & =\sum _{i=1}^N\sum _{p=1}^N\sum _{q=1}^N[\gcd (i,p,q)=1]\\ & =\sum _{i=1}^N\sum _{p=1}^N\sum _{q=1}^N\sum _{d\mid \gcd (i,p,q)}\mu (d)\\ & =\sum _{d=1}^N\sum _{i=1}^N\sum _{p=1}^N\sum _{q=1}^N[d\mid i][d\mid p][d\mid q]\mu (d)\\ & =\sum _{d=1}^N\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\sum _{p=1}^{\lfloor \frac{}{d}}\\ & \end{array}$$

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